確率変数 $X$ の確率分布が与えられているとき、$X$ の平均と分散を求める問題です。$X$ の値は 1, 2, 3 であり、それぞれの確率は $P(X=1) = \frac{1}{2}$、$P(X=2) = \frac{1}{3}$、$P(X=3) = \frac{1}{6}$ です。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率分布が与えられているとき、$X$ の平均と分散を求める問題です。$X$ の値は 1, 2, 3 であり、それぞれの確率は $P(X=1) = \frac{1}{2}$、$P(X=2) = \frac{1}{3}$、$P(X=3) = \frac{1}{6}$ です。

2. 解き方の手順

まず、平均 $E[X]$ を求めます。平均は、各値にその確率を掛けたものの和で計算されます。

$E[X] = \sum_{i} x_i P(x_i)$

次に、分散 $V[X]$ を求めます。分散は、$E[X^2] - (E[X])^2$ で計算されます。ここで、$E[X^2]$ は、各値の二乗にその確率を掛けたものの和で計算されます。

$E[X^2] = \sum_{i} x_i^2 P(x_i)$

手順1：平均 $E[X]$ を計算します。

$E[X] = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

手順2：$E[X^2]$ を計算します。

$E[X^2] = 1^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^2 \cdot \frac{1}{3} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} = 1 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{3}{2} = \frac{3}{6} + \frac{8}{6} + \frac{9}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

手順3：分散 $V[X]$ を計算します。

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{10}{3} - \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{10}{3} - \frac{25}{9} = \frac{30}{9} - \frac{25}{9} = \frac{5}{9}$

3. 最終的な答え

平均：$\frac{5}{3}$

分散：$\frac{5}{9}$