赤球と白球が合わせて9個入っている袋がある。袋の中の赤球の個数を$n$ ($1 \le n \le 7$)とする。この袋から2個の球を同時に取り出す。赤球を少なくとも1個取り出す確率が$\frac{5}{12}$となるとき、$n$を求めよ。

1. 問題の内容

赤球と白球が合わせて9個入っている袋がある。袋の中の赤球の個数を$n$ ($1 \le n \le 7$)とする。この袋から2個の球を同時に取り出す。赤球を少なくとも1個取り出す確率が$\frac{5}{12}$となるとき、$n$を求めよ。

2. 解き方の手順

袋の中に赤球が$n$個、白球が$9-n$個入っている。この中から2個の球を取り出すとき、取り出し方は全部で$_{9}C_{2}$通りである。

$_{9}C_{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

赤球を少なくとも1個取り出す確率は、1から2個とも白球を取り出す確率を引いたものと考えることができる。

2個とも白球を取り出す確率は、$\frac{_{9-n}C_{2}}{_{9}C_{2}}$ である。

$_{9-n}C_{2} = \frac{(9-n)(8-n)}{2 \times 1} = \frac{(9-n)(8-n)}{2}$

赤球を少なくとも1個取り出す確率が$\frac{5}{12}$であるから、

$1 - \frac{_{9-n}C_{2}}{_{9}C_{2}} = \frac{5}{12}$

$1 - \frac{\frac{(9-n)(8-n)}{2}}{36} = \frac{5}{12}$

$1 - \frac{(9-n)(8-n)}{72} = \frac{5}{12}$

$\frac{(9-n)(8-n)}{72} = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$

$(9-n)(8-n) = \frac{7}{12} \times 72 = 7 \times 6 = 42$

$72 - 17n + n^{2} = 42$

$n^{2} - 17n + 30 = 0$

$(n-2)(n-15) = 0$

$n = 2, 15$

$1 \le n \le 7$であるから、$n = 2$。

3. 最終的な答え

$n=2$