3個のサイコロを同時に1回投げるとき、出る目の最大値を$M$、最小値を$m$とする。$M \le 5$ または $m \ge 3$ となる確率を求める。

1. 問題の内容

3個のサイコロを同時に1回投げるとき、出る目の最大値を$M$、最小値を$m$とする。$M \le 5$ または $m \ge 3$ となる確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、3個のサイコロを投げた時の全ての出方の総数は $6^3 = 216$ 通りである。

次に、$M \le 5$ または $m \ge 3$ となる確率を求めるために、余事象を考える。

$M \le 5$ の余事象は $M = 6$ であり、$m \ge 3$ の余事象は $m \le 2$ である。

したがって、$M \le 5$ または $m \ge 3$ の余事象は、$M = 6$ かつ $m \le 2$ となる場合である。

$M=6$となるのは、少なくとも1つのサイコロの目が6である場合である。

$m \le 2$となるのは、少なくとも1つのサイコロの目が1または2である場合である。

したがって、$M=6$かつ$m \le 2$となるのは、3つのサイコロの目が $\{1, 2, 6\}$ のみで構成される場合である。

具体的には、3つのサイコロの目が $\{1, 6, 6\}$, $\{2, 6, 6\}$, $\{1, 2, 6\}$ のいずれかである。

$\{1, 6, 6\}$ となる場合の数は、$\frac{3!}{2!} = 3$ 通り

$\{2, 6, 6\}$ となる場合の数は、$\frac{3!}{2!} = 3$ 通り

$\{1, 2, 6\}$ となる場合の数は、$3! = 6$ 通り

よって、$M=6$ かつ $m \le 2$ となる場合の数は $3 + 3 + 6 = 12$ 通りである。

$M \le 5$ または $m \ge 3$ となる確率は、

$1 - \frac{12}{216} = 1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{17}{18}$