1から10までの番号が書かれた10枚の札が入った箱から、1枚の札を取り出し、番号を記録して元に戻す操作を3回繰り返します。取り出された番号の最大値を$M$、最小値を$m$とするとき、$M \le 5$ または $m \ge 3$ となる確率を求めます。

1. 問題の内容

1から10までの番号が書かれた10枚の札が入った箱から、1枚の札を取り出し、番号を記録して元に戻す操作を3回繰り返します。取り出された番号の最大値を$M$、最小値を$m$とするとき、$M \le 5$ または $m \ge 3$ となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、全事象の数は、各回で1から10のいずれかの札を取り出すので、$10^3 = 1000$通りです。

次に、$M \le 5$ または $m \ge 3$ の余事象を考えます。余事象は、$M > 5$ かつ $m < 3$ となります。つまり、取り出した3つの数はすべて6以上であり、かつすべて2以下ではない、ということになります。言い換えると、3つの数はすべて6, 7, 8, 9, 10のいずれかであり、かつ1, 2のいずれかが少なくとも1つ含まれていない、ということになります。

$M > 5$ となるのは、3つの数がすべて6以上のときなので、その場合の数は$5^3 = 125$通りです。

$m < 3$ となるのは、3つの数がすべて1, 2, ..., 10のうち1, 2のいずれかが少なくとも1つ含まれているときです。

余事象を直接計算するよりも、$M \le 5$となる確率と$m \ge 3$となる確率を個別に計算し、共通部分を引く方が簡単です。

$M \le 5$となるのは、3回とも1から5のいずれかの数が出る場合なので、$5^3 = 125$通りです。

$m \ge 3$となるのは、3回とも3から10のいずれかの数が出る場合なので、$8^3 = 512$通りです。

$M \le 5$ かつ $m \ge 3$となるのは、3回とも3, 4, 5のいずれかの数が出る場合なので、$3^3 = 27$通りです。

したがって、$M \le 5$ または $m \ge 3$となる場合の数は、

$5^3 + 8^3 - 3^3 = 125 + 512 - 27 = 610$通りです。

求める確率は、$\frac{610}{1000} = \frac{61}{100}$となります。

3. 最終的な答え

$\frac{61}{100}$