赤玉と白玉が合計7個入っている袋がある。袋の中の赤玉の個数を $n$ （$n \ge 2$）とする。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、赤玉を2個取り出す確率と、赤玉と白玉を1個ずつ取り出す確率が等しくなるような $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

赤玉と白玉が合計7個入っている袋がある。袋の中の赤玉の個数を $n$ （$n \ge 2$）とする。この袋から2個の玉を同時に取り出すとき、赤玉を2個取り出す確率と、赤玉と白玉を1個ずつ取り出す確率が等しくなるような $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、全事象の数、つまり7個の玉から2個を選ぶ場合の数を求める。これは組み合わせで表され、$_7C_2$ となる。

次に、赤玉を2個取り出す場合の数を求める。赤玉が$n$個あるので、これは$_nC_2$となる。

赤玉と白玉を1個ずつ取り出す場合の数を求める。赤玉が$n$個、白玉が$7-n$個あるので、これは$_nC_1 \times _{7-n}C_1 = n(7-n)$となる。

問題文より、赤玉を2個取り出す確率と、赤玉と白玉を1個ずつ取り出す確率が等しいので、次のような式が成り立つ。

$\frac{_nC_2}{_7C_2} = \frac{n(7-n)}{_7C_2}$

分母が共通なので、分子のみ比較する。

$_nC_2 = n(7-n)$

組み合わせの公式を使うと、

$\frac{n(n-1)}{2} = n(7-n)$

$n \ge 2$なので、$n$で割ることができる。

$\frac{n-1}{2} = 7-n$

両辺に2をかける。

$n-1 = 14-2n$

$3n = 15$

$n = 5$

3. 最終的な答え

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