1から10までの番号が書かれた10枚の札から3枚を同時に取り出すとき、取り出された番号の最大値を$M$、最小値を$m$とします。このとき、$M \le 5$または$m \ge 3$となる確率を求めます。

1. 問題の内容

1から10までの番号が書かれた10枚の札から3枚を同時に取り出すとき、取り出された番号の最大値を$M$、最小値を$m$とします。このとき、$M \le 5$または$m \ge 3$となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、10枚の札から3枚を取り出す場合の総数を計算します。これは$_{10}C_3$で表されます。

$_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

次に、$M \le 5$となる場合の数を計算します。

$M \le 5$となるのは、取り出す3枚の札がすべて1から5までの番号である場合です。

これは$_{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$通りです。

次に、$m \ge 3$となる場合の数を計算します。

$m \ge 3$となるのは、取り出す3枚の札がすべて3から10までの番号である場合です。

これは$_{8}C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$通りです。

次に、$M \le 5$かつ$m \ge 3$となる場合の数を計算します。

$M \le 5$かつ$m \ge 3$となるのは、取り出す3枚の札がすべて3,4,5のいずれかである場合です。

これは$_{3}C_3 = 1$通りです。

$M \le 5$または$m \ge 3$となる場合の数は、和集合の公式を用いて計算します。

$n(M \le 5 \cup m \ge 3) = n(M \le 5) + n(m \ge 3) - n(M \le 5 \cap m \ge 3) = 10 + 56 - 1 = 65$通りです。

したがって、求める確率は、$\frac{65}{120} = \frac{13}{24}$となります。

3. 最終的な答え

$\frac{13}{24}$