ベクトル$\mathbf{A}$と$\mathbf{D}$が与えられたとき、以下の計算を行い、結果をベクトル$\mathbf{A}$, $\mathbf{D}$の成分と単位ベクトル$\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$を用いて表す。また、$\nabla \cdot \mathbf{C} = \text{div} \, \mathbf{C}$ および $\nabla^2 = \Delta$ を証明する。 a) i) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{D}$ (内積) ii) $\mathbf{D} \times \mathbf{A}$ (外積) b) $\nabla \cdot \mathbf{C} = \text{div} \, \mathbf{C}$ および $\nabla^2 = \Delta$ を証明する。

1. 問題の内容

ベクトル$\mathbf{A}$と$\mathbf{D}$が与えられたとき、以下の計算を行い、結果をベクトル$\mathbf{A}$, $\mathbf{D}$の成分と単位ベクトル$\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$を用いて表す。また、$\nabla \cdot \mathbf{C} = \text{div} \, \mathbf{C}$ および $\nabla^2 = \Delta$ を証明する。

a)

i) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{D}$ (内積)

ii) $\mathbf{D} \times \mathbf{A}$ (外積)

b)

$\nabla \cdot \mathbf{C} = \text{div} \, \mathbf{C}$ および $\nabla^2 = \Delta$ を証明する。

2. 解き方の手順

a)

i) ベクトルの内積の計算

$\mathbf{A} = A_x \mathbf{i} + A_y \mathbf{j} + A_z \mathbf{k}$ および $\mathbf{D} = D_x \mathbf{i} + D_y \mathbf{j} + D_z \mathbf{k}$ のとき、内積 $\mathbf{A} \cdot \mathbf{D}$ は次のように計算できる。

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{D} = (A_x \mathbf{i} + A_y \mathbf{j} + A_z \mathbf{k}) \cdot (D_x \mathbf{i} + D_y \mathbf{j} + D_z \mathbf{k})$

$\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = 1$、$\mathbf{i} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{k} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0$を利用して、

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{D} = A_x D_x + A_y D_y + A_z D_z$

ii) ベクトルの外積の計算

$\mathbf{A} = A_x \mathbf{i} + A_y \mathbf{j} + A_z \mathbf{k}$ および $\mathbf{D} = D_x \mathbf{i} + D_y \mathbf{j} + D_z \mathbf{k}$ のとき、外積 $\mathbf{D} \times \mathbf{A}$ は次のように計算できる。

$\mathbf{D} \times \mathbf{A} = (D_x \mathbf{i} + D_y \mathbf{j} + D_z \mathbf{k}) \times (A_x \mathbf{i} + A_y \mathbf{j} + A_z \mathbf{k})$

$\mathbf{i} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} \times \mathbf{k} = \mathbf{0}$、$\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$、$\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$、$\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$、$\mathbf{j} \times \mathbf{i} = -\mathbf{k}$、$\mathbf{k} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i}$、$\mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$を利用して、

$\mathbf{D} \times \mathbf{A} = (D_y A_z - D_z A_y) \mathbf{i} + (D_z A_x - D_x A_z) \mathbf{j} + (D_x A_y - D_y A_x) \mathbf{k}$

b)

$\nabla \cdot \mathbf{C} = \text{div} \, \mathbf{C}$ および $\nabla^2 = \Delta$ の証明

$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}$ とする。

$\mathbf{C} = C_x \mathbf{i} + C_y \mathbf{j} + C_z \mathbf{k}$ とすると、

$\nabla \cdot \mathbf{C} = \left(\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}\right) \cdot (C_x \mathbf{i} + C_y \mathbf{j} + C_z \mathbf{k})$

$= \frac{\partial C_x}{\partial x} + \frac{\partial C_y}{\partial y} + \frac{\partial C_z}{\partial z} = \text{div} \, \mathbf{C}$

また、$\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla$ であるから、

$\nabla^2 = \left(\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}\right) \cdot \left(\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}\right)$

$= \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \Delta$

3. 最終的な答え

a)

i) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{D} = A_x D_x + A_y D_y + A_z D_z$

ii) $\mathbf{D} \times \mathbf{A} = (D_y A_z - D_z A_y) \mathbf{i} + (D_z A_x - D_x A_z) \mathbf{j} + (D_x A_y - D_y A_x) \mathbf{k}$

b)

$\nabla \cdot \mathbf{C} = \frac{\partial C_x}{\partial x} + \frac{\partial C_y}{\partial y} + \frac{\partial C_z}{\partial z} = \text{div} \, \mathbf{C}$

$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \Delta$