問題は大きく分けて2つあります。 1つ目は、2つの関数 $f(t)$ と $g(t)$ が与えられたときに、相互相関関数と自己相関関数を定義し、それぞれの関数を用いるとどのような情報が得られるかを問う問題です。 2つ目は、区間 $[0, 2\pi]$ で定義された2つの関数 $f(t) = \sin t$ と $g(t) = \cos t$ が与えられたときに、相互相関関数 $R_{fg}(\tau)$ を求め（規格化すること）、また、$R_{fg}(\tau)$ から何がわかるかを問う問題です。

1. 問題の内容

問題は大きく分けて2つあります。

1つ目は、2つの関数 $f(t)$ と $g(t)$ が与えられたときに、相互相関関数と自己相関関数を定義し、それぞれの関数を用いるとどのような情報が得られるかを問う問題です。

2つ目は、区間 $[0, 2\pi]$ で定義された2つの関数 $f(t) = \sin t$ と $g(t) = \cos t$ が与えられたときに、相互相関関数 $R_{fg}(\tau)$ を求め（規格化すること）、また、$R_{fg}(\tau)$ から何がわかるかを問う問題です。

2. 解き方の手順

1つ目の問題について：

1) 相互相関関数 $R_{fg}(\tau)$ の式を書く。

相互相関関数は、一方の関数を時間シフトさせたものと、もう一方の関数との積の積分で定義されます。

$R_{fg}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(t+\tau) dt$

2) 相互相関関数を用いると、どのような情報が得られるか。

相互相関関数は、2つの信号の類似度を時間遅れ $\tau$ の関数として表します。ピークの位置から、一方の信号がもう一方の信号に対してどれだけ時間的にずれているか（遅延時間）を知ることができます。また、ピークの高さから、2つの信号がどれだけ似ているかを知ることができます。

3) 自己相関関数 $R_{ff}(\tau)$ の式を書く。

自己相関関数は、関数自身と、それを時間シフトさせたものとの積の積分で定義されます。

$R_{ff}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f(t+\tau) dt$

4) 自己相関関数を用いると、どのような情報が得られるか。

自己相関関数は、信号の周期性や繰り返しパターンを検出するために使用されます。信号に周期性がある場合、自己相関関数にも周期的なピークが現れます。

2つ目の問題について：

区間 $[0, 2\pi]$ で定義された $f(t) = \sin t$ と $g(t) = \cos t$ の相互相関関数 $R_{fg}(\tau)$ を求める。

$R_{fg}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} \sin(t) \cos(t + \tau) dt$

三角関数の積和公式 $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ を用いると、

$R_{fg}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} \sin(t) (\cos(t) \cos(\tau) - \sin(t) \sin(\tau)) dt$

$R_{fg}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} (\sin(t)\cos(t)\cos(\tau) - \sin^2(t)\sin(\tau)) dt$

$R_{fg}(\tau) = \cos(\tau)\int_{0}^{2\pi} \sin(t)\cos(t) dt - \sin(\tau)\int_{0}^{2\pi} \sin^2(t) dt$

$\int_{0}^{2\pi} \sin(t)\cos(t) dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \sin(2t) dt = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}\cos(2t)\right]_{0}^{2\pi} = 0$

$\int_{0}^{2\pi} \sin^2(t) dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos(2t)}{2} dt = \left[\frac{t}{2} - \frac{\sin(2t)}{4}\right]_{0}^{2\pi} = \pi$

よって、

$R_{fg}(\tau) = \cos(\tau) \cdot 0 - \sin(\tau) \cdot \pi = -\pi\sin(\tau)$

規格化するためには、自己相関関数の最大値で割る必要があります。$R_{ff}(0)=\int_0^{2\pi}sin^2(t)dt = \pi$なので、

規格化された相互相関関数は、

$R_{fg}(\tau) = -\sin(\tau)$

$R_{fg}(\tau)$ からわかること:

$f(t)$ と $g(t)$ の位相差は $\pi/2$ であることがわかります。具体的には、$g(t)$ は $f(t)$ に対して $\pi/2$ だけ進んでいる（または、$f(t)$ が $g(t)$ より $\pi/2$ だけ遅れている）と言えます。

3. 最終的な答え

1) $R_{fg}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(t+\tau) dt$

2) 2つの信号の類似度を時間遅れ $\tau$ の関数として表す。

3) $R_{ff}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f(t+\tau) dt$

4) 信号の周期性や繰り返しパターンを検出する。

2. $R_{fg}(\tau) = -\sin(\tau)$

$f(t)$ と $g(t)$ の位相差は $\pi/2$ である。