問題は二つあります。 一つ目の問題は、時間 $t$ に対する二つの関数 $f(t)$、 $g(t)$ があるとして、以下の問いに答えることです。 1) 相互相関関数 $R_{fg}(\tau)$ の式を書くこと。 2) 相互相関関数を用いると、どのような情報が得られるかを答えること。 3) 自己相関関数 $R_{ff}(\tau)$ の式を書くこと。 4) 自己相関関数を用いると、どのような情報が得られるかを答えること。 二つ目の問題は、区間 $[0, 2\pi]$ で定義された二つの関数 $f(t) = \sin t$ と $g(t) = \cos t$ があるとき、二つの関数の相互相関関数 $R_{fg}(\tau)$ を求め、規格化することです。また、$R_{fg}(\tau)$ から何が分かるかを答えることです。

1. 問題の内容

問題は二つあります。

一つ目の問題は、時間 $t$ に対する二つの関数 $f(t)$、 $g(t)$ があるとして、以下の問いに答えることです。

1) 相互相関関数 $R_{fg}(\tau)$ の式を書くこと。

2) 相互相関関数を用いると、どのような情報が得られるかを答えること。

3) 自己相関関数 $R_{ff}(\tau)$ の式を書くこと。

4) 自己相関関数を用いると、どのような情報が得られるかを答えること。

二つ目の問題は、区間 $[0, 2\pi]$ で定義された二つの関数 $f(t) = \sin t$ と $g(t) = \cos t$ があるとき、二つの関数の相互相関関数 $R_{fg}(\tau)$ を求め、規格化することです。また、$R_{fg}(\tau)$ から何が分かるかを答えることです。

2. 解き方の手順

一つ目の問題:

1) 相互相関関数 $R_{fg}(\tau)$ の式は次のようになります。

$R_{fg}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(t+\tau) dt$

2) 相互相関関数を用いると、二つの信号間の類似性や時間的なずれを検出できます。具体的には、一方の信号を時間的にシフトさせながら、もう一方の信号との相関を計算することで、最も相関が高くなる時間的なずれ（遅延）を推定することができます。

3) 自己相関関数 $R_{ff}(\tau)$ の式は次のようになります。

$R_{ff}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f(t+\tau) dt$

4) 自己相関関数を用いると、信号の周期性やランダム性を評価できます。周期的な信号の場合、自己相関関数は周期的なピークを持ちます。ランダムな信号の場合、自己相関関数は通常、原点付近でのみ大きな値を示し、それ以外では急速に減衰します。

二つ目の問題:

$f(t) = \sin t$ と $g(t) = \cos t$ の相互相関関数 $R_{fg}(\tau)$ を求めます。区間 $[0, 2\pi]$ で積分します。

$R_{fg}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} \sin(t) \cos(t+\tau) dt$

三角関数の積和の公式 $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ を用いると、

$R_{fg}(\tau) = \int_{0}^{2\pi} \sin(t) (\cos(t) \cos(\tau) - \sin(t) \sin(\tau)) dt$

$R_{fg}(\tau) = \cos(\tau) \int_{0}^{2\pi} \sin(t) \cos(t) dt - \sin(\tau) \int_{0}^{2\pi} \sin^2(t) dt$

ここで、$\int_{0}^{2\pi} \sin(t) \cos(t) dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \sin(2t) dt = \frac{1}{2} [-\frac{1}{2} \cos(2t)]_{0}^{2\pi} = 0$

そして、$\int_{0}^{2\pi} \sin^2(t) dt = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos(2t)}{2} dt = [\frac{t}{2} - \frac{\sin(2t)}{4}]_{0}^{2\pi} = \pi$

したがって、

$R_{fg}(\tau) = \cos(\tau) \cdot 0 - \sin(\tau) \cdot \pi = -\pi \sin(\tau)$

規格化するためには、$\max |R_{fg}(\tau)|$ で割ります。$\max |-\pi \sin(\tau)| = \pi$ なので、規格化された相互相関関数は次のようになります。

$R_{fg}(\tau) = -\sin(\tau)$

$R_{fg}(\tau)$ から、$\sin t$ と $\cos t$ の間には $\frac{\pi}{2}$ の位相差があることが分かります。また、$\sin t$ を $-\tau$ だけシフトさせると $\cos t$ に一致することが分かります。

3. 最終的な答え

一つ目の問題:

1) $R_{fg}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(t+\tau) dt$

2) 二つの信号間の類似性や時間的なずれを検出できる。

3) $R_{ff}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f(t+\tau) dt$

4) 信号の周期性やランダム性を評価できる。

二つ目の問題:

$R_{fg}(\tau) = -\sin(\tau)$

$\sin t$ と $\cos t$ の間には $\frac{\pi}{2}$ の位相差があることがわかる。