傾斜角 $\theta$ の粗い斜面上に質量 $m$ の物体を置いたところ、物体は斜面を滑り落ち始めた。物体と斜面の静止摩擦係数を $\mu$ 、動摩擦係数を $\mu'$ 、重力加速度を $g$ とする。 (1) 物体にはたらく力を図示せよ。 (2) 物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさと、物体の加速度の大きさを求めよ。 (3) 物体を静かに離してから、斜面上を $\ell$ だけ下るのにかかった時間と、その時の速さを求めよ。

1. 問題の内容

傾斜角 $\theta$ の粗い斜面上に質量 $m$ の物体を置いたところ、物体は斜面を滑り落ち始めた。物体と斜面の静止摩擦係数を $\mu$ 、動摩擦係数を $\mu'$ 、重力加速度を $g$ とする。

(1) 物体にはたらく力を図示せよ。

(2) 物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさと、物体の加速度の大きさを求めよ。

(3) 物体を静かに離してから、斜面上を $\ell$ だけ下るのにかかった時間と、その時の速さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 物体にはたらく力は、重力 $mg$ 、垂直抗力 $N$ 、動摩擦力 $f'$ である。重力は斜面方向と斜面に垂直な方向に分解できる。

(2)

斜面に垂直な方向について、力のつり合いより

$N - mg\cos\theta = 0$

したがって、

$N = mg\cos\theta$

斜面方向について、運動方程式より

$ma = mg\sin\theta - f'$

動摩擦力は $f' = \mu' N = \mu' mg\cos\theta$ であるから、

$ma = mg\sin\theta - \mu' mg\cos\theta$

$a = g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)$

(3)

等加速度運動の公式より、

$\ell = \frac{1}{2} a t^2$

$t = \sqrt{\frac{2\ell}{a}} = \sqrt{\frac{2\ell}{g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}}$

また、速度 $v$ は

$v = at = \sqrt{2a\ell} = \sqrt{2g\ell(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}$

3. 最終的な答え

(1) 物体にはたらく力：重力 $mg$、垂直抗力 $N$、動摩擦力 $f'$（図は省略）

(2) 垂直抗力：$mg\cos\theta$、加速度：$g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)$

(3) 時間：$\sqrt{\frac{2\ell}{g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}}$、速度：$\sqrt{2g\ell(\sin\theta - \mu'\cos\theta)}$