3次元ベクトル $\mathbf{f} = (4, -4, 7)$ と $\mathbf{g} = (3, -2, 6)$ について、以下の量を求めます。 * ベクトル間の距離 * ベクトルの内積 * ベクトルの相関係数 * $\mathbf{f}$ の $\mathbf{g}$ 方向成分

1. 問題の内容

3次元ベクトル $\mathbf{f} = (4, -4, 7)$ と $\mathbf{g} = (3, -2, 6)$ について、以下の量を求めます。

* ベクトル間の距離

* ベクトルの内積

* ベクトルの相関係数

* $\mathbf{f}$ の $\mathbf{g}$ 方向成分

2. 解き方の手順

(1) ベクトル間の距離を求めます。距離はベクトル間の差のノルムです。

$\mathbf{f} - \mathbf{g} = (4-3, -4-(-2), 7-6) = (1, -2, 1)$

距離 $d = \|\mathbf{f} - \mathbf{g}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

(2) ベクトルの内積を求めます。

$\mathbf{f} \cdot \mathbf{g} = (4)(3) + (-4)(-2) + (7)(6) = 12 + 8 + 42 = 62$

(3) ベクトルの相関係数を求めます。相関係数 $r$ は次のように計算されます。

$r = \frac{\mathbf{f} \cdot \mathbf{g}}{\|\mathbf{f}\| \|\mathbf{g}\|}$

$\|\mathbf{f}\| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$

$\|\mathbf{g}\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$

$r = \frac{62}{9 \cdot 7} = \frac{62}{63}$

(4) $\mathbf{f}$ の $\mathbf{g}$ 方向成分を求めます。 $\mathbf{f}$ の $\mathbf{g}$ 方向への射影ベクトルを求めます。射影ベクトル $\mathbf{f}_{\mathbf{g}}$ は次のように計算されます。

$\mathbf{f}_{\mathbf{g}} = \frac{\mathbf{f} \cdot \mathbf{g}}{\|\mathbf{g}\|^2} \mathbf{g}$

$\mathbf{f} \cdot \mathbf{g} = 62$

$\|\mathbf{g}\|^2 = 49$

$\mathbf{f}_{\mathbf{g}} = \frac{62}{49} (3, -2, 6) = (\frac{186}{49}, -\frac{124}{49}, \frac{372}{49})$

3. 最終的な答え

* ベクトル間の距離: $\sqrt{6}$

* ベクトルの内積: $62$

* ベクトルの相関係数: $\frac{62}{63}$

* $\mathbf{f}$ の $\mathbf{g}$ 方向成分: $(\frac{186}{49}, -\frac{124}{49}, \frac{372}{49})$