$x, y$ が3つの不等式 $y \ge -\frac{5}{3}x + 5$, $y \ge 3x - 9$, $y \le \frac{1}{5}x + 5$ を満たすとき、$x+y$ の最小値と最大値、および $x^2 + y^2$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x, y$ が3つの不等式 $y \ge -\frac{5}{3}x + 5$, $y \ge 3x - 9$, $y \le \frac{1}{5}x + 5$ を満たすとき、$x+y$ の最小値と最大値、および $x^2 + y^2$ の最小値とそのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式で表される領域を図示する。

$y \ge -\frac{5}{3}x + 5$ (1)

$y \ge 3x - 9$ (2)

$y \le \frac{1}{5}x + 5$ (3)

これらの不等式を満たす領域は、3つの直線で囲まれた三角形になる。

次に、3つの直線の交点を求める。

(1)と(2)の交点:

$-\frac{5}{3}x + 5 = 3x - 9$

$-5x + 15 = 9x - 27$

$14x = 42$

$x = 3$

$y = 3(3) - 9 = 0$

交点(3, 0)

(1)と(3)の交点:

$-\frac{5}{3}x + 5 = \frac{1}{5}x + 5$

$-\frac{5}{3}x = \frac{1}{5}x$

$x = 0$

$y = 5$

交点(0, 5)

(2)と(3)の交点:

$3x - 9 = \frac{1}{5}x + 5$

$15x - 45 = x + 25$

$14x = 70$

$x = 5$

$y = 3(5) - 9 = 6$

交点(5, 6)

三角形の頂点は(3, 0), (0, 5), (5, 6)である。

$k = x + y$とおくと、$y = -x + k$である。

この直線が三角形の領域と交わるように、$k$の最大値と最小値を求める。

(3, 0)を通るとき、$k = 3 + 0 = 3$

(0, 5)を通るとき、$k = 0 + 5 = 5$

(5, 6)を通るとき、$k = 5 + 6 = 11$

したがって、$x+y$の最小値は3、最大値は11である。

次に、$x^2 + y^2$の最小値を求める。

$x^2 + y^2$は、原点(0, 0)からの距離の2乗を表す。

したがって、領域内の点で原点に最も近い点を求める。

(3, 0)と(0, 5)を結ぶ直線は$-\frac{5}{3}x+5$であり、原点からの距離は、

$\frac{|-\frac{5}{3}(0) - 0 + 5|}{\sqrt{(-\frac{5}{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{\frac{25}{9} + 1}} = \frac{5}{\sqrt{\frac{34}{9}}} = \frac{15}{\sqrt{34}} = \frac{15\sqrt{34}}{34}$

(3, 0)と(5, 6)を結ぶ直線は $3x - 9$であり、原点からの距離は、

$\frac{|3(0) - 0 - 9|}{\sqrt{(3)^2 + (-1)^2}} = \frac{9}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{9}{\sqrt{10}} = \frac{9\sqrt{10}}{10}$

(0, 5)と(5, 6)を結ぶ直線は $\frac{1}{5}x - y + 5$であり、原点からの距離は、

$\frac{|\frac{1}{5}(0) - 0 + 5|}{\sqrt{(\frac{1}{5})^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{\frac{1}{25} + 1}} = \frac{5}{\sqrt{\frac{26}{25}}} = \frac{25}{\sqrt{26}} = \frac{25\sqrt{26}}{26}$

原点から(3, 0)への距離は3、原点から(0, 5)への距離は5。

これらの距離の中で最小なのは、原点から(3, 0)への距離3。

$x^2 + y^2$の最小値は$3^2 + 0^2 = 9$である。そのとき$x = 3, y = 0$。

3. 最終的な答え

$x + y$ の最小値: 3

$x + y$ の最大値: 11

$x^2 + y^2$ の最小値: 9

そのときの $x$: 3

そのときの $y$: 0