鉄心の比透磁率が2000、平均半径 $3 \times 10^{-2}$ m、断面積 $2 \times 10^{-4}$ m$^2$、巻き数250のトロイダルコイルがある。コイルの一部の長さ0.02 mの断面積が$1 \times 10^{-4}$ m$^2$に狭まっている。このコイルの直列磁気抵抗 $R_m$ を求めよ。

1. 問題の内容

鉄心の比透磁率が2000、平均半径 $3 \times 10^{-2}$ m、断面積 $2 \times 10^{-4}$ m$^2$、巻き数250のトロイダルコイルがある。コイルの一部の長さ0.02 mの断面積が$1 \times 10^{-4}$ m$^2$に狭まっている。このコイルの直列磁気抵抗 $R_m$ を求めよ。

2. 解き方の手順

トロイダルコイルの磁気抵抗を求める。

まず、全体の長さ（平均磁路長）$l$を計算する。

$l = 2 \pi r = 2 \pi \times 3 \times 10^{-2} = 0.1885$ m

次に、磁気抵抗は、狭まっている部分と狭まっていない部分の直列接続と考える。狭まっている部分の長さを $l_1$ = 0.02 m、断面積を $A_1 = 1 \times 10^{-4}$ m$^2$ とする。狭まっていない部分の長さは $l_2 = l - l_1 = 0.1885 - 0.02 = 0.1685$ m、断面積は $A_2 = 2 \times 10^{-4}$ m$^2$ とする。比透磁率は $\mu_r = 2000$、真空の透磁率は $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}$ H/m である。

磁気抵抗の公式は $R_m = \frac{l}{\mu_0 \mu_r A}$ である。狭まっている部分の磁気抵抗 $R_{m1}$ と、狭まっていない部分の磁気抵抗 $R_{m2}$ をそれぞれ計算する。

$R_{m1} = \frac{l_1}{\mu_0 \mu_r A_1} = \frac{0.02}{4 \pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 1 \times 10^{-4}} = \frac{0.02}{8 \pi \times 10^{-8}} = \frac{2 \times 10^{-2}}{8 \pi \times 10^{-8}} = \frac{1}{4 \pi} \times 10^6 \approx 79577.47$ A/Wb

$R_{m2} = \frac{l_2}{\mu_0 \mu_r A_2} = \frac{0.1685}{4 \pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 2 \times 10^{-4}} = \frac{0.1685}{16 \pi \times 10^{-8}} = \frac{16.85 \times 10^{-2}}{16 \pi \times 10^{-8}} = \frac{16.85}{16 \pi} \times 10^6 \approx 335830.57$ A/Wb

全体の磁気抵抗は $R_m = R_{m1} + R_{m2}$ で求められる。

$R_m = 79577.47 + 335830.57 = 415408.04$ A/Wb

3. 最終的な答え

$4.15 \times 10^5$ A/Wb