一様な密度を持つ体積 $1.0 \times 10^3 \text{ cm}^3$ の立方体を、密度 $1.0 \text{ g/cm}^3$ の水に入れたところ、体積の $\frac{2}{5}$ が空気中に出た状態で浮いた。重力加速度の大きさを $9.8 \text{ m/s}^2$ とする。 (1) この立方体の上面を水面と一致させるには、何 N の力で押し下げる必要があるか。 (2) 立方体の上面が水面と一致した状態で手を離した。手を離した瞬間の加速度を求めよ。 (3) (2)で求めた加速度はその後どのように変化するか説明せよ。

1. 問題の内容

一様な密度を持つ体積 $1.0 \times 10^3 \text{ cm}^3$ の立方体を、密度 $1.0 \text{ g/cm}^3$ の水に入れたところ、体積の $\frac{2}{5}$ が空気中に出た状態で浮いた。重力加速度の大きさを $9.8 \text{ m/s}^2$ とする。

(1) この立方体の上面を水面と一致させるには、何 N の力で押し下げる必要があるか。

(2) 立方体の上面が水面と一致した状態で手を離した。手を離した瞬間の加速度を求めよ。

(3) (2)で求めた加速度はその後どのように変化するか説明せよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、立方体の質量 $m$ を求める。浮いているとき、重力と浮力が釣り合っている。水中に沈んでいる体積は $\frac{3}{5}V$ であるから、浮力 $F_B$ は、

$F_B = \rho_w g \frac{3}{5}V$

ここで、$\rho_w$ は水の密度($1.0 \text{ g/cm}^3 = 1.0 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$)、$g$ は重力加速度、$V$ は立方体の体積 ($1.0 \times 10^3 \text{ cm}^3 = 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3$) である。

重力 $mg$ と浮力が釣り合っているので、

$mg = \rho_w g \frac{3}{5}V$

$m = \rho_w \frac{3}{5}V = 1.0 \times 10^3 \text{ kg/m}^3 \times \frac{3}{5} \times 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 0.6 \text{ kg}$

立方体の上面を水面と一致させるには、立方体全体が水中に沈む必要があり、必要な力 $F$ は、

$F = F_B' - mg$

ここで、$F_B'$ は立方体が完全に水中に沈んでいるときの浮力で、

$F_B' = \rho_w g V = 1.0 \times 10^3 \text{ kg/m}^3 \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times 1.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3 = 9.8 \text{ N}$

したがって、

$F = 9.8 \text{ N} - 0.6 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 9.8 \text{ N} - 5.88 \text{ N} = 3.92 \text{ N}$

(2)

手を離した瞬間、立方体は完全に水中に沈んでいる。重力は $mg = 5.88 \text{ N}$、浮力は $F_B' = 9.8 \text{ N}$ である。

合力は $F_B' - mg = 9.8 \text{ N} - 5.88 \text{ N} = 3.92 \text{ N}$ 上向きである。

加速度 $a$ は、ニュートンの運動方程式 $F = ma$ より、

$a = \frac{F}{m} = \frac{3.92 \text{ N}}{0.6 \text{ kg}} = 6.53 \text{ m/s}^2$

(3)

手を離した瞬間から立方体が浮上し始めると、水面から出ている部分が生じる。水面下の体積が減少すると浮力も減少する。浮力が重力と釣り合うまで加速度は減少し、最終的には0になる。

3. 最終的な答え

(1) 3.92 N

(2) 6.53 m/s^2 (上向き)

(3) 加速度は減少し、最終的には0になる。