等温等積条件で平衡状態にある液体と気体の化学ポテンシャル$\mu_L$と$\mu_G$の関係を求める問題です。 ラグランジュの未定乗数法を使用します。

1. 問題の内容

等温等積条件で平衡状態にある液体と気体の化学ポテンシャル$\mu_L$と$\mu_G$の関係を求める問題です。 ラグランジュの未定乗数法を使用します。

2. 解き方の手順

等温等積条件で平衡状態にある系では、ギブズ自由エネルギー $G$ が最小となります。

$G = \mu_L N_L + \mu_G N_G$

ここで、$N_L$ は液体の粒子数、$N_G$ は気体の粒子数です。

全粒子数は一定なので、

$N = N_L + N_G = \text{一定}$

この制約条件を考慮して、ラグランジュ関数を定義します。

$L = G - \lambda(N_L + N_G - N) = \mu_L N_L + \mu_G N_G - \lambda(N_L + N_G - N)$

ここで、$\lambda$ はラグランジュの未定乗数です。

$L$ を $N_L$ と $N_G$ で偏微分し、0 とおきます。

$\frac{\partial L}{\partial N_L} = \mu_L - \lambda = 0$

$\frac{\partial L}{\partial N_G} = \mu_G - \lambda = 0$

これらの式から、$\mu_L = \lambda$ および $\mu_G = \lambda$ が得られます。

したがって、$\mu_L = \mu_G$となります。

3. 最終的な答え

$\mu_L = \mu_G$