完全競争市場における企業の総費用曲線 $TC = X^3 - 24X^2 + 394X$ が与えられているとき、損益分岐点における生産量と価格を求め、特に損益分岐点価格を答える問題です。

1. 問題の内容

完全競争市場における企業の総費用曲線 $TC = X^3 - 24X^2 + 394X$ が与えられているとき、損益分岐点における生産量と価格を求め、特に損益分岐点価格を答える問題です。

2. 解き方の手順

損益分岐点とは、企業の利潤がゼロになる点です。完全競争市場では、損益分岐点において価格（P）は平均費用（ATC）と等しくなります。

まず、平均費用を計算します。

$ATC = \frac{TC}{X} = \frac{X^3 - 24X^2 + 394X}{X} = X^2 - 24X + 394$

次に、限界費用（MC）を計算します。

$MC = \frac{dTC}{dX} = 3X^2 - 48X + 394$

損益分岐点においては、限界費用（MC）と平均費用（ATC）が等しくなります。したがって、

$MC = ATC$

$3X^2 - 48X + 394 = X^2 - 24X + 394$

$2X^2 - 24X = 0$

$2X(X - 12) = 0$

$X = 0$ または $X = 12$

$X=0$ は経済的に意味がないので、$X = 12$ が損益分岐点における生産量です。

損益分岐点における価格は、平均費用（ATC）または限界費用（MC）に生産量を代入して計算します。

$P = ATC(12) = (12)^2 - 24(12) + 394 = 144 - 288 + 394 = 250$

または

$P = MC(12) = 3(12)^2 - 48(12) + 394 = 3(144) - 576 + 394 = 432 - 576 + 394 = 250$

3. 最終的な答え

250