完全競争市場における企業の総費用曲線が $TC = X^3 - 24X^2 + 394X$ で与えられているとき、損益分岐点価格を求める問題です。ここで、$X$は生産量です。

1. 問題の内容

完全競争市場における企業の総費用曲線が $TC = X^3 - 24X^2 + 394X$ で与えられているとき、損益分岐点価格を求める問題です。ここで、$X$は生産量です。

2. 解き方の手順

損益分岐点とは、企業の利潤がゼロになる点、つまり、総収入（TR）が総費用（TC）と等しくなる点です。完全競争市場では、価格（P）は一定なので、総収入は $TR = PX$ となります。損益分岐点では、$TR = TC$ が成り立つので、$PX = X^3 - 24X^2 + 394X$ となります。

まず、平均費用（AC）を計算します。平均費用は、総費用を生産量で割ったものです。

$AC = \frac{TC}{X} = \frac{X^3 - 24X^2 + 394X}{X} = X^2 - 24X + 394$

損益分岐点では、価格が平均費用と等しくなります。また、完全競争市場において、企業は限界費用（MC）＝価格（P）となるように生産量を決定します。損益分岐点では、$P=AC$となる必要があります。さらに、利潤最大化条件から、$MC=AC$ が成り立つ必要があります。したがって、まずはACを最小化します。

$AC$を最小化するため、$AC$を$X$で微分して0とおきます。

$\frac{dAC}{dX} = 2X - 24 = 0$

$2X = 24$

$X = 12$

次に、$X=12$ を$AC$に代入して損益分岐点価格を求めます。

$AC = (12)^2 - 24(12) + 394 = 144 - 288 + 394 = 250$

したがって、損益分岐点価格は250です。

3. 最終的な答え

250