(1) 2人ゼロ和ゲームの最適な混合戦略を求めます。 (2) 2人非ゼロ和ゲームの混合戦略ナッシュ均衡を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

(1) 2人ゼロ和ゲームの最適な混合戦略を求めます。

(2) 2人非ゼロ和ゲームの混合戦略ナッシュ均衡を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2人ゼロ和ゲームの最適な混合戦略

プレイヤーIとプレイヤーIIの戦略をそれぞれ、$p$と$q$とします。

プレイヤーIが戦略1を取る確率を$x$とすると、戦略2を取る確率は$1-x$となります。同様に、プレイヤーIIが戦略1を取る確率を$y$とすると、戦略2を取る確率は$1-y$となります。

プレイヤーIの期待利得を考えます。プレイヤーIIが戦略1を取る場合、Iの期待利得は$2x - 6(1-x) = 8x - 6$となります。プレイヤーIIが戦略2を取る場合、Iの期待利得は$-3x - (1-x) = -2x - 1$となります。

プレイヤーIの最適な戦略は、IIの戦略に関わらず期待利得が一定になるようにすることです。したがって、

$8x - 6 = -2x - 1$

$10x = 5$

$x = 0.5$

同様に、プレイヤーIIの期待利得を考えます。プレイヤーIが戦略1を取る場合、IIの損失は$2y - 3(1-y) = 5y - 3$となります。プレイヤーIが戦略2を取る場合、IIの損失は$-6y - (1-y) = -5y - 1$となります。

プレイヤーIIの最適な戦略は、Iの戦略に関わらず期待損失が一定になるようにすることです。したがって、

$5y - 3 = -5y - 1$

$10y = 2$

$y = 0.2$

(2) 2人非ゼロ和ゲームの混合戦略ナッシュ均衡

プレイヤーIが戦略1を取る確率を$x$、プレイヤーIIが戦略1を取る確率を$y$とします。

プレイヤーIの期待利得は、戦略1を取る場合 $3y + 2(1-y) = y + 2$、戦略2を取る場合 $4y + (1-y) = 3y + 1$となります。

ナッシュ均衡では、どちらのプレイヤーも戦略を変えるインセンティブがないため、$y+2 = 3y+1$となる$y$を求めます。

$2y = 1$

$y = 0.5$

プレイヤーIIの期待利得は、戦略1を取る場合 $2x + 3(1-x) = 3 - x$、戦略2を取る場合 $x + 4(1-x) = 4 - 3x$となります。

ナッシュ均衡では、どちらのプレイヤーも戦略を変えるインセンティブがないため、$3 - x = 4 - 3x$となる$x$を求めます。

$2x = 1$

$x = 0.5$

3. 最終的な答え

(1) 2人ゼロ和ゲームの最適な混合戦略:

プレイヤーI: 戦略1を確率0.5、戦略2を確率0.5で選択

プレイヤーII: 戦略1を確率0.2、戦略2を確率0.8で選択

(2) 2人非ゼロ和ゲームの混合戦略ナッシュ均衡:

プレイヤーI: 戦略1を確率0.5、戦略2を確率0.5で選択

プレイヤーII: 戦略1を確率0.5、戦略2を確率0.5で選択