直径 $d = 30 \text{ mm}$、長さ $l = 500 \text{ mm}$ の円形断面軸の一端が固定されており、軸の中央から先端にかけて単位長さあたり $\tau = 300 \text{ Nm/m}$ のトルクが作用しています。軸端のねじれ角 $\phi$ を $1^\circ$ から $2^\circ$ の範囲に抑えるための適切な材料を、与えられた表から選択する問題です。

1. 問題の内容

直径 $d = 30 \text{ mm}$、長さ $l = 500 \text{ mm}$ の円形断面軸の一端が固定されており、軸の中央から先端にかけて単位長さあたり $\tau = 300 \text{ Nm/m}$ のトルクが作用しています。軸端のねじれ角 $\phi$ を $1^\circ$ から $2^\circ$ の範囲に抑えるための適切な材料を、与えられた表から選択する問題です。

2. 解き方の手順

ねじれ角 $\phi$ は以下のように計算されます。

$\phi = \int_0^l \frac{T(x)}{GI_p} dx$

ここで、$T(x)$ は位置 $x$ におけるトルク、$G$ は横弾性係数、$I_p$ は断面二次極モーメントです。

問題文より、ねじれ角 $\phi$ が $1^\circ$ から $2^\circ$ の範囲に収まる条件は、

$\frac{\pi}{180} \le \int_0^l \frac{T(x)}{GI_p} dx \le \frac{\pi}{90}$ …(1)

断面二次極モーメント $I_p$ は、

$I_p = \frac{\pi}{32} d^4 = \frac{\pi}{32} (0.03)^4 \text{ m}^4$

トルク $T(x)$ は、位置 $x$ でのトルクの総和なので、

$T(x) = \int_x^l \tau dx = \tau (l - x)$

したがって、

$\int_0^l \frac{T(x)}{GI_p} dx = \int_0^l \frac{\tau (l - x)}{GI_p} dx = \frac{\tau}{GI_p} \int_0^l (l - x) dx = \frac{\tau}{GI_p} [lx - \frac{1}{2}x^2]_0^l = \frac{\tau}{GI_p} (l^2 - \frac{1}{2}l^2) = \frac{\tau l^2}{2GI_p}$

上記の式を(1)に代入すると、

$\frac{\pi}{180} \le \frac{\tau l^2}{2GI_p} \le \frac{\pi}{90}$

$\frac{\pi}{180} \le \frac{300 \times (0.5)^2}{2 G (\pi/32) (0.03)^4} \le \frac{\pi}{90}$

$\frac{\pi}{180} \le \frac{300 \times 0.25 \times 32}{2 G \pi (0.03)^4} \le \frac{\pi}{90}$

$\frac{\pi}{180} \le \frac{1200}{2 G \pi (0.03)^4} \le \frac{\pi}{90}$

$\frac{\pi}{180} \le \frac{600}{G \pi (0.03)^4} \le \frac{\pi}{90}$

$\frac{600}{\frac{\pi^2}{90}} \ge G (0.03)^4 \ge \frac{600}{\frac{\pi^2}{180}}$

$\frac{600 \times 90}{\pi^2} \ge G (0.03)^4 \ge \frac{600 \times 180}{\pi^2}$

$\frac{54000}{\pi^2} \ge G (0.03)^4 \ge \frac{108000}{\pi^2}$

$5466.2 \ge G (0.03)^4 \ge 10932.4$

$5466.2 \times 10^{-8} \ge G \ge 10932.4 \times 10^{-8}$

$0.000054662 \ge G \ge 0.000109324$

$54.662 \times 10^{-6} \text{ GPa } \ge G \ge 109.324 \times 10^{-6} \text{ GPa }$

$54.662 \text{ MPa } \ge G \ge 109.324 \text{ MPa }$

$54.662 \text{ GPa } \times 10^{-3} \ge G \ge 109.324 \text{ GPa } \times 10^{-3}$

$0.0547 \text{ GPa } \ge G \ge 0.1093 \text{ GPa }$

したがって、以下の材料が適しています。

* アルミニウム合金: $G = 30 \text{ GPa}$ (不適)

* 黄銅: $G = 40 \text{ GPa}$ (不適)

* 低炭素鋼: $G = 80 \text{ GPa}$ (不適)

3. 最終的な答え

なし