直径 $d = 20 \text{ mm}$、長さ $l = 400 \text{ mm}$ の円形断面軸の一端が壁に固定されている。軸端に $T = 300 \text{ Nm}$ のトルクを作用させたとき、軸端のねじれ角 $\phi$ を $1^\circ$ から $2^\circ$ の範囲に抑えたい。与えられた材料（アルミニウム合金、黄銅、低炭素鋼）の中から適切なものをすべて選ぶ。

1. 問題の内容

直径 $d = 20 \text{ mm}$、長さ $l = 400 \text{ mm}$ の円形断面軸の一端が壁に固定されている。軸端に $T = 300 \text{ Nm}$ のトルクを作用させたとき、軸端のねじれ角 $\phi$ を $1^\circ$ から $2^\circ$ の範囲に抑えたい。与えられた材料（アルミニウム合金、黄銅、低炭素鋼）の中から適切なものをすべて選ぶ。

2. 解き方の手順

ねじれ角 $\phi$ は以下の式で与えられます。

$\phi = \frac{Tl}{GJ}$

ここで、

$T$: トルク

$l$: 軸の長さ

$G$: 横弾性係数

$J$: 極断面二次モーメント

円形断面の極断面二次モーメント $J$ は、

$J = \frac{\pi d^4}{32}$

で与えられます。

与えられた値から $J$ を計算します。

$J = \frac{\pi (20 \times 10^{-3} \text{ m})^4}{32} = \frac{\pi (20^4 \times 10^{-12})}{32} \text{ m}^4 = \frac{\pi \times 16 \times 10^{-8}}{32} \text{ m}^4 = \frac{\pi}{2} \times 10^{-8} \text{ m}^4 \approx 1.57 \times 10^{-8} \text{ m}^4$

ねじれ角 $\phi$ の単位をラジアンに変換します。

$1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \approx 0.0175 \text{ rad}$

$2^\circ = \frac{2\pi}{180} \text{ rad} \approx 0.0349 \text{ rad}$

各材料についてねじれ角を計算し、$1^\circ \le \phi \le 2^\circ$ の範囲に入るかどうかを調べます。

アルミニウム合金: $G = 30 \text{ GPa} = 30 \times 10^9 \text{ Pa}$

$\phi = \frac{300 \text{ Nm} \times 0.4 \text{ m}}{30 \times 10^9 \text{ Pa} \times 1.57 \times 10^{-8} \text{ m}^4} = \frac{120}{471} \approx 0.255 \text{ rad} \approx 14.6^\circ$

黄銅: $G = 40 \text{ GPa} = 40 \times 10^9 \text{ Pa}$

$\phi = \frac{300 \text{ Nm} \times 0.4 \text{ m}}{40 \times 10^9 \text{ Pa} \times 1.57 \times 10^{-8} \text{ m}^4} = \frac{120}{628} \approx 0.191 \text{ rad} \approx 10.9^\circ$

低炭素鋼: $G = 80 \text{ GPa} = 80 \times 10^9 \text{ Pa}$

$\phi = \frac{300 \text{ Nm} \times 0.4 \text{ m}}{80 \times 10^9 \text{ Pa} \times 1.57 \times 10^{-8} \text{ m}^4} = \frac{120}{1256} \approx 0.0955 \text{ rad} \approx 5.47^\circ$

与えられた材料では、どれもねじれ角が $1^\circ$ から $2^\circ$ の範囲に入りません。

3. 最終的な答え

なし