ベクトル $\mathbf{A} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k}$, $\mathbf{B} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$, $\mathbf{C} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + \mathbf{k}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 a) ベクトル $\mathbf{C}$ の単位ベクトル $\mathbf{e}$ を求める。 b) $(\mathbf{B} - 2\mathbf{A}) \cdot (2\mathbf{A} + \mathbf{B})$ を計算する。 c) $|\mathbf{B} \times 3(\mathbf{A} - \mathbf{C})|$ を計算する。 d) $\varphi = xz^2 + 3xy^3$ のときの $\Delta \varphi$ を求める。 ($\Delta$はラプラシアン)

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{A} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k}$, $\mathbf{B} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$, $\mathbf{C} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + \mathbf{k}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

a) ベクトル $\mathbf{C}$ の単位ベクトル $\mathbf{e}$ を求める。

b) $(\mathbf{B} - 2\mathbf{A}) \cdot (2\mathbf{A} + \mathbf{B})$ を計算する。

c) $|\mathbf{B} \times 3(\mathbf{A} - \mathbf{C})|$ を計算する。

d) $\varphi = xz^2 + 3xy^3$ のときの $\Delta \varphi$ を求める。 ($\Delta$はラプラシアン)

2. 解き方の手順

a) ベクトル $\mathbf{C}$ の単位ベクトル $\mathbf{e}$ は、$\mathbf{e} = \frac{\mathbf{C}}{|\mathbf{C}|}$ で与えられる。

まず、$\mathbf{C}$ の大きさ $|\mathbf{C}|$ を計算する。

$|\mathbf{C}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26}$

したがって、$\mathbf{e} = \frac{3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + \mathbf{k}}{\sqrt{26}} = \frac{3}{\sqrt{26}}\mathbf{i} + \frac{4}{\sqrt{26}}\mathbf{j} + \frac{1}{\sqrt{26}}\mathbf{k}$

b) $(\mathbf{B} - 2\mathbf{A}) \cdot (2\mathbf{A} + \mathbf{B})$ を計算する。

$\mathbf{B} - 2\mathbf{A} = (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) - 2(\mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k}) = -\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$

$2\mathbf{A} + \mathbf{B} = 2(\mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k}) + (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) = 3\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 9\mathbf{k} = 3\mathbf{i} + 9\mathbf{k}$

$(\mathbf{B} - 2\mathbf{A}) \cdot (2\mathbf{A} + \mathbf{B}) = (-\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 3\mathbf{k}) \cdot (3\mathbf{i} + 9\mathbf{k}) = (-1)(3) + (-4)(0) + (-3)(9) = -3 - 0 - 27 = -30$

c) $|\mathbf{B} \times 3(\mathbf{A} - \mathbf{C})|$ を計算する。

$\mathbf{A} - \mathbf{C} = (\mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k}) - (3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + \mathbf{k}) = -2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$

$3(\mathbf{A} - \mathbf{C}) = -6\mathbf{i} - 9\mathbf{j} + 6\mathbf{k}$

$\mathbf{B} \times 3(\mathbf{A} - \mathbf{C}) = (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \times (-6\mathbf{i} - 9\mathbf{j} + 6\mathbf{k}) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ -6 & -9 & 6 \end{vmatrix} = (-12 - (-27))\mathbf{i} - (6 - (-18))\mathbf{j} + (-9 - 12)\mathbf{k} = 15\mathbf{i} - 24\mathbf{j} - 21\mathbf{k}$

$|\mathbf{B} \times 3(\mathbf{A} - \mathbf{C})| = \sqrt{15^2 + (-24)^2 + (-21)^2} = \sqrt{225 + 576 + 441} = \sqrt{1242} = 9\sqrt{15.33} = 3\sqrt{138}$

d) $\varphi = xz^2 + 3xy^3$ のときの $\Delta \varphi$ を求める。

$\frac{\partial \varphi}{\partial x} = z^2 + 3y^3$

$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} = 0$

$\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 9xy^2$

$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = 18xy$

$\frac{\partial \varphi}{\partial z} = 2xz$

$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 2x$

$\Delta \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 0 + 18xy + 2x = 2x(9y + 1)$

3. 最終的な答え

a) $\mathbf{e} = \frac{3}{\sqrt{26}}\mathbf{i} + \frac{4}{\sqrt{26}}\mathbf{j} + \frac{1}{\sqrt{26}}\mathbf{k}$

b) $-30$

c) $3\sqrt{138}$

d) $2x(9y+1)$