ベクトル $\mathbf{A} = 4\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\mathbf{B} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$, $\mathbf{C} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$ が与えられたとき、以下のものを求める。 a) ベクトル $\mathbf{B}$ の単位ベクトル $\mathbf{e}$ b) $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} - 3\mathbf{C})$ c) $|(\mathbf{A} + 2\mathbf{B}) \times (\mathbf{A} - 2\mathbf{C})|$ d) ベクトル $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ の先端を結んで得られる三角形の面積

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{A} = 4\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, $\mathbf{B} = \mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$, $\mathbf{C} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$ が与えられたとき、以下のものを求める。

a) ベクトル $\mathbf{B}$ の単位ベクトル $\mathbf{e}$

b) $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} - 3\mathbf{C})$

c) $|(\mathbf{A} + 2\mathbf{B}) \times (\mathbf{A} - 2\mathbf{C})|$

d) ベクトル $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ の先端を結んで得られる三角形の面積

2. 解き方の手順

a) ベクトル $\mathbf{B}$ の単位ベクトル $\mathbf{e}$ は、$\mathbf{e} = \frac{\mathbf{B}}{|\mathbf{B}|}$ で求められる。まず、$\mathbf{B}$ の大きさを求める。

$|\mathbf{B}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

したがって、単位ベクトル $\mathbf{e}$ は、

$\mathbf{e} = \frac{1}{\sqrt{14}} (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) = \frac{1}{\sqrt{14}}\mathbf{i} - \frac{2}{\sqrt{14}}\mathbf{j} + \frac{3}{\sqrt{14}}\mathbf{k}$

b) $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} - 3\mathbf{C})$ を求める。まず、$\mathbf{B} - 3\mathbf{C}$ を計算する。

$\mathbf{B} - 3\mathbf{C} = (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) - 3(3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) = (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) - (9\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) = -8\mathbf{i} - 8\mathbf{j}$

次に、$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} - 3\mathbf{C})$ を計算する。

$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} - 3\mathbf{C}) = (4\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) \cdot (-8\mathbf{i} - 8\mathbf{j}) = 4(-8) + 1(-8) + 2(0) = -32 - 8 = -40$

c) $|(\mathbf{A} + 2\mathbf{B}) \times (\mathbf{A} - 2\mathbf{C})|$ を求める。まず、$\mathbf{A} + 2\mathbf{B}$ と $\mathbf{A} - 2\mathbf{C}$ を計算する。

$\mathbf{A} + 2\mathbf{B} = (4\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) + 2(\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) = (4\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) + (2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 6\mathbf{k}) = 6\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 8\mathbf{k}$

$\mathbf{A} - 2\mathbf{C} = (4\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) - 2(3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) = (4\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) - (6\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = -2\mathbf{i} - 3\mathbf{j}$

次に、$(\mathbf{A} + 2\mathbf{B}) \times (\mathbf{A} - 2\mathbf{C})$ を計算する。

$(\mathbf{A} + 2\mathbf{B}) \times (\mathbf{A} - 2\mathbf{C}) = (6\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 8\mathbf{k}) \times (-2\mathbf{i} - 3\mathbf{j}) =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

6 & -3 & 8 \\

-2 & -3 & 0

\end{vmatrix} = (0 - (-24))\mathbf{i} - (0 - (-16))\mathbf{j} + (-18 - 6)\mathbf{k} = 24\mathbf{i} - 16\mathbf{j} - 24\mathbf{k}$

最後に、その大きさを計算する。

$|(\mathbf{A} + 2\mathbf{B}) \times (\mathbf{A} - 2\mathbf{C})| = \sqrt{24^2 + (-16)^2 + (-24)^2} = \sqrt{576 + 256 + 576} = \sqrt{1408} = \sqrt{64 \times 22} = 8\sqrt{22}$

d) ベクトル $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ の先端を結んで得られる三角形の面積は、$\frac{1}{2} |(\mathbf{B}-\mathbf{A}) \times (\mathbf{C}-\mathbf{A})|$ で求められる。

$\mathbf{B}-\mathbf{A} = (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) - (4\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = -3\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k}$

$\mathbf{C}-\mathbf{A} = (3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) - (4\mathbf{i} + \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = -\mathbf{i} + \mathbf{j} - \mathbf{k}$

$(\mathbf{B}-\mathbf{A}) \times (\mathbf{C}-\mathbf{A}) =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

-3 & -3 & 1 \\

-1 & 1 & -1

\end{vmatrix} = (3 - 1)\mathbf{i} - (3 - (-1))\mathbf{j} + (-3 - 3)\mathbf{k} = 2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 6\mathbf{k}$

$|(\mathbf{B}-\mathbf{A}) \times (\mathbf{C}-\mathbf{A})| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

したがって、三角形の面積は、

$\frac{1}{2} |(\mathbf{B}-\mathbf{A}) \times (\mathbf{C}-\mathbf{A})| = \frac{1}{2} (2\sqrt{14}) = \sqrt{14}$

3. 最終的な答え

a) ベクトル $\mathbf{B}$ の単位ベクトル $\mathbf{e}$: $\mathbf{e} = \frac{1}{\sqrt{14}}\mathbf{i} - \frac{2}{\sqrt{14}}\mathbf{j} + \frac{3}{\sqrt{14}}\mathbf{k}$

b) $\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} - 3\mathbf{C})$: $-40$

c) $|(\mathbf{A} + 2\mathbf{B}) \times (\mathbf{A} - 2\mathbf{C})|$: $8\sqrt{22}$

d) ベクトル $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ の先端を結んで得られる三角形の面積: $\sqrt{14}$