$x, y$ が4つの不等式 $x \geq 0, y \geq 0, 2x+3y \leq 10, 2x+y \leq 6$ を同時に満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x, y$ が4つの不等式 $x \geq 0, y \geq 0, 2x+3y \leq 10, 2x+y \leq 6$ を同時に満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を満たす領域を図示します。

$x \geq 0$ と $y \geq 0$ より、領域は第一象限に含まれます。

次に、$2x + 3y \leq 10$ と $2x + y \leq 6$ を図示します。

$2x+3y=10$ と $2x+y=6$ の交点を求めます。

この二つの式を引き算すると、

$2y=4$ となり、$y=2$。

これを$2x+y=6$ に代入すると、$2x+2=6$ より、$2x=4$ なので、$x=2$。

よって、交点は $(2,2)$。

次に、各頂点における $x+y$ の値を求めます。

領域の頂点は、$(0,0), (3,0), (2,2), (0,\frac{10}{3})$ です。

それぞれの点における $x+y$ の値は以下の通りです。

$(0,0)$ のとき、$x+y = 0+0 = 0$

$(3,0)$ のとき、$x+y = 3+0 = 3$

$(2,2)$ のとき、$x+y = 2+2 = 4$

$(0,\frac{10}{3})$ のとき、$x+y = 0+\frac{10}{3} = \frac{10}{3} = 3.333...$

これらの値の中で、最大値は $4$、最小値は $0$ です。

3. 最終的な答え

最大値：4

最小値：0