(1) $\tan{\theta} = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos{2\theta}$ と $\sin{2\theta}$ の値を求めよ。 (2) $\tan{\frac{\pi}{8}}$ の値を求めよ。 (3) 関数 $y = 2\sin{(3x + \frac{\pi}{2})}$ の周期を求めよ。 (4) 2直線 $y = 3x$ と $y = 7x$ のなす角を $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) とするとき、$\tan{\theta}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\tan{\theta} = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos{2\theta}$ と $\sin{2\theta}$ の値を求めよ。

(2) $\tan{\frac{\pi}{8}}$ の値を求めよ。

(3) 関数 $y = 2\sin{(3x + \frac{\pi}{2})}$ の周期を求めよ。

(4) 2直線 $y = 3x$ と $y = 7x$ のなす角を $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) とするとき、$\tan{\theta}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\tan{\theta} = \frac{1}{3}$ より、

$1 + \tan^2{\theta} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$ なので、

$\cos^2{\theta} = \frac{1}{1 + \tan^2{\theta}} = \frac{1}{1 + (\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10}$

$\cos{2\theta} = 2\cos^2{\theta} - 1 = 2 \cdot \frac{9}{10} - 1 = \frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}$

$\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta} = 2(\tan{\theta}\cos{\theta})\cos{\theta} = 2\tan{\theta}\cos^2{\theta} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} = \frac{3}{5}$

(2)

$\tan{\frac{\pi}{8}} = \frac{1 - \cos{\frac{\pi}{4}}}{1 + \cos{\frac{\pi}{4}}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(2 - \sqrt{2})^2}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} = 3 - 2\sqrt{2}$

(3)

関数 $y = \sin{ax}$ の周期は $\frac{2\pi}{|a|}$ である。

$y = 2\sin{(3x + \frac{\pi}{2})} = 2\sin{(3(x + \frac{\pi}{6}))}$ なので、周期は $\frac{2\pi}{3}$ である。

(4)

2直線 $y = 3x$ と $y = 7x$ の傾きはそれぞれ3と7である。

直線の傾きは $\tan{\theta}$ と等しい。

したがって、$\tan{\alpha} = 3$, $\tan{\beta} = 7$ とおく。

求める $\tan{\theta}$ は $\tan{(\beta - \alpha)}$ である。

$\tan{(\beta - \alpha)} = \frac{\tan{\beta} - \tan{\alpha}}{1 + \tan{\beta}\tan{\alpha}} = \frac{7 - 3}{1 + 7 \cdot 3} = \frac{4}{1 + 21} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{2\theta} = \frac{4}{5}$, $\sin{2\theta} = \frac{3}{5}$

(2) $\tan{\frac{\pi}{8}} = \sqrt{2}-1$

(3) $\frac{2\pi}{3}$

(4) $\frac{2}{11}$

$\tan{\frac{\pi}{8}} = 3 - 2\sqrt{2} = \frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}=3-2\sqrt{2} \neq \sqrt{2}-1$

誤りがあるので、計算し直します。

$\tan{\frac{\pi}{8}} = \frac{1 - \cos{\frac{\pi}{4}}}{\sin{\frac{\pi}{4}}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{2} = \sqrt{2} - 1$

$\tan{\frac{\pi}{8}} = \frac{\sin{\frac{\pi}{4}}}{1 + \cos{\frac{\pi}{4}}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1$

$\tan{\frac{\pi}{8}} = \sqrt{2} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{2\theta} = \frac{4}{5}$, $\sin{2\theta} = \frac{3}{5}$

(2) $\tan{\frac{\pi}{8}} = \sqrt{2} - 1$

(3) $\frac{2\pi}{3}$

(4) $\frac{2}{11}$