曲線 $y = x^3 - 3x^2 + x$ と直線 $y = -x$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 3x^2 + x$ と直線 $y = -x$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、曲線と直線の交点を求める。

$x^3 - 3x^2 + x = -x$ を解く。

$x^3 - 3x^2 + 2x = 0$

$x(x^2 - 3x + 2) = 0$

$x(x - 1)(x - 2) = 0$

したがって、交点の $x$ 座標は $x = 0, 1, 2$ である。

次に、それぞれの区間における面積を計算する。

区間 $[0, 1]$ では、曲線 $y = x^3 - 3x^2 + x$ が直線 $y = -x$ の上にあるか下にあるかを調べる。

$x = 0.5$ のとき、曲線の値は $(0.5)^3 - 3(0.5)^2 + 0.5 = 0.125 - 0.75 + 0.5 = -0.125$、直線の値は $-0.5$ である。

したがって、区間 $[0, 1]$ では、直線が曲線の上にある。

面積 $S_1$ は、

$S_1 = \int_0^1 (-x - (x^3 - 3x^2 + x)) dx = \int_0^1 (-x^3 + 3x^2 - 2x) dx = [-\frac{1}{4}x^4 + x^3 - x^2]_0^1 = -\frac{1}{4} + 1 - 1 = -\frac{1}{4}$

$S_1 = |\int_0^1 (-x - (x^3 - 3x^2 + x)) dx| = \frac{1}{4}$

区間 $[1, 2]$ では、曲線 $y = x^3 - 3x^2 + x$ が直線 $y = -x$ の上にあるか下にあるかを調べる。

$x = 1.5$ のとき、曲線の値は $(1.5)^3 - 3(1.5)^2 + 1.5 = 3.375 - 6.75 + 1.5 = -1.875$、直線の値は $-1.5$ である。

したがって、区間 $[1, 2]$ では、直線が曲線の上にある。

面積 $S_2$ は、

$S_2 = \int_1^2 (-x - (x^3 - 3x^2 + x)) dx = \int_1^2 (-x^3 + 3x^2 - 2x) dx = [-\frac{1}{4}x^4 + x^3 - x^2]_1^2 = (-\frac{1}{4}(16) + 8 - 4) - (-\frac{1}{4} + 1 - 1) = (-4 + 4) - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$

$S_2 = |\int_1^2 (-x - (x^3 - 3x^2 + x)) dx| = \frac{1}{4}$

したがって、面積の和 $S$ は、

$S = |S_1| + |S_2| = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$