与えられた式 $ \frac{1}{1-\sin\theta} + \frac{1}{1+\sin\theta} $ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{1-\sin\theta} + \frac{1}{1+\sin\theta}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、二つの分数を足し合わせます。そのためには、共通の分母を見つけます。共通の分母は $(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)$ です。

$\frac{1}{1-\sin\theta} + \frac{1}{1+\sin\theta} = \frac{1+\sin\theta}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)} + \frac{1-\sin\theta}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}$

分子を足し合わせると：

$\frac{1+\sin\theta + 1-\sin\theta}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)} = \frac{2}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}$

分母を展開します。

$(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) = 1 - \sin^2\theta$

三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$1-\sin^2\theta = \cos^2\theta$ が成り立ちます。したがって、

$\frac{2}{1-\sin^2\theta} = \frac{2}{\cos^2\theta}$

$\frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta$ であるため、

$\frac{2}{\cos^2\theta} = 2\sec^2\theta$

3. 最終的な答え

$2\sec^2\theta$