以下の三角方程式と不等式を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解く。 (ア) $\sqrt{3} \sin{\theta} + \cos{\theta} = \sqrt{2}$ (イ) $2\cos{2\theta} - \sqrt{3} \sin{\theta} + 1 = 0$ (ウ) $\cos{2\theta} - 7\cos{\theta} + 4 \ge 0$

1. 問題の内容

以下の三角方程式と不等式を $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で解く。

(ア) $\sqrt{3} \sin{\theta} + \cos{\theta} = \sqrt{2}$

(イ) $2\cos{2\theta} - \sqrt{3} \sin{\theta} + 1 = 0$

(ウ) $\cos{2\theta} - 7\cos{\theta} + 4 \ge 0$

2. 解き方の手順

(ア) $\sqrt{3} \sin{\theta} + \cos{\theta} = \sqrt{2}$ を解く。

左辺を合成すると

$2 \sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6}$。

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$

$\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$

(イ) $2\cos{2\theta} - \sqrt{3} \sin{\theta} + 1 = 0$ を解く。

$\cos{2\theta} = 1 - 2\sin^2{\theta}$ を用いて、

$2(1 - 2\sin^2{\theta}) - \sqrt{3} \sin{\theta} + 1 = 0$

$2 - 4\sin^2{\theta} - \sqrt{3} \sin{\theta} + 1 = 0$

$4\sin^2{\theta} + \sqrt{3} \sin{\theta} - 3 = 0$

$(4\sin{\theta} - \sqrt{3})(\sin{\theta} + \sqrt{3}) = 0$

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{4}, -\sqrt{3}$

$-1 \le \sin{\theta} \le 1$ より、$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

$\theta = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{4}), \pi - \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{4})$

(ウ) $\cos{2\theta} - 7\cos{\theta} + 4 \ge 0$ を解く。

$\cos{2\theta} = 2\cos^2{\theta} - 1$ を用いて、

$2\cos^2{\theta} - 1 - 7\cos{\theta} + 4 \ge 0$

$2\cos^2{\theta} - 7\cos{\theta} + 3 \ge 0$

$(2\cos{\theta} - 1)(\cos{\theta} - 3) \ge 0$

$\cos{\theta} \le \frac{1}{2}, \cos{\theta} \ge 3$

$-1 \le \cos{\theta} \le 1$ より、$\cos{\theta} \le \frac{1}{2}$

$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(ア) $\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$

(イ) $\theta = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{4}), \pi - \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{4})$

(ウ) $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$