$y = e^x$, $y = e$, $x = 0$ で囲まれた部分を $y$ 軸まわりに回転してできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

$y = e^x$, $y = e$, $x = 0$ で囲まれた部分を $y$ 軸まわりに回転してできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

$y = e^x$ を $x$ について解くと、$x = \log y$ となる。

回転体の体積 $V$ は、

$$V = \pi \int_c^d (\log y)^2 dy$$

で与えられる。回転体の体積を求めるために、積分範囲 $c, d$ と定数 $B$ を決定する必要がある。

$x = 0$ のとき、$y = e^0 = 1$ より、$c=1$ である。

$y = e$ より、$d=e$ である。

したがって積分範囲は 1 から e となる。

$y$ 軸回転なので、体積の式は

$$V = \pi \int_1^e (\log y)^2 dy$$

となる。ここで、$x=0$ のとき $x^2 = 0$ なので、

$$V = \pi \int_1^e (\log y)^2 dy = \pi \int_1^e (\log_e y)^2 dy$$

この積分を計算する。

$$\int (\log y)^2 dy = y (\log y)^2 - 2 \int \log y dy$$

$$= y (\log y)^2 - 2 (y \log y - y) + C$$

$$= y (\log y)^2 - 2y \log y + 2y + C$$

したがって、

$$V = \pi [ y (\log y)^2 - 2y \log y + 2y ]_1^e$$

$$= \pi [(e (\log e)^2 - 2e \log e + 2e) - (1 (\log 1)^2 - 2(1) \log 1 + 2(1))]$$

$$= \pi [(e (1)^2 - 2e (1) + 2e) - (1 (0)^2 - 2(1) (0) + 2(1))]$$

$$= \pi [(e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2)]$$

$$= \pi (e - 2)$$

よって、

$A = y$

$B = \pi$

$C = 1$

$D = e$

$E = y$

$F = e$

$G = 2$

3. 最終的な答え

A: y

B: $\pi$

C: 1

D: e

E: y

F: e

G: 2