$y = 3\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x - 6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x$ ($0 \le x \le \pi$) とする。 (1) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = t$ として、$y$ を $t$ で表せ。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。 (3) $y$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$y = 3\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x - 6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x$ ($0 \le x \le \pi$) とする。

(1) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = t$ として、$y$ を $t$ で表せ。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(3) $y$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sqrt{3}\sin x - \cos x$ より、

$t^2 = (\sqrt{3}\sin x - \cos x)^2 = 3\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x$

したがって、$y = t^2 - 6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x = t^2 - 2(-\sqrt{3}\cos x + 3\sin x)$.

ここで、$-\sqrt{3}\cos x + 3\sin x = -(\sqrt{3}\cos x - 3\sin x) = -\sqrt{3}(\cos x - \sqrt{3}\sin x)$.

$t = \sqrt{3}\sin x - \cos x$ より、$\sqrt{3}\sin x = t + \cos x$.

代入して、

$-\sqrt{3}\cos x + 3\sin x = -(\sqrt{3}\cos x - 3\sin x) = - \sqrt{3}\cos x + 3\sin x = 3\sin x - \sqrt{3}\cos x = \sqrt{3}(t+\cos x) - \sqrt{3}\cos x = 3t$.

よって、$y = t^2 - 2(-(\sqrt{3}\cos x - 3\sin x)) = t^2 - 2(-t \times \sqrt{3}) = t^2 + 2t \sqrt{3}$.

$y = t^2 - 2(\sqrt{3}\cos x - 3\sin x)$.

ここで、$\sqrt{3}\cos x - 3\sin x = -\sqrt{3} (-\cos x + \sqrt{3}\sin x) = -\sqrt{3}(\sqrt{3}\sin x - \cos x) \cdot (-1) \times \frac{1}{\sqrt{3}} = - \sqrt{3} t \rightarrow$の間違い。

$y = 3\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x - 6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x = 2\sin^2 x + (\sin^2 x + \cos^2 x) - 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x$

$= 2\sin^2 x + 1 - 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x = 2\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x + 1$.

$t = \sqrt{3}\sin x - \cos x = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x) = 2(\sin x \cos \frac{\pi}{6} - \cos x \sin \frac{\pi}{6}) = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})$

$t^2 = 3\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x$ より、

$y = t^2 - 6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x = t^2 - 2(3\sin x - \sqrt{3}\cos x) = t^2 - 2(-\sqrt{3} (\sqrt{3}\sin x - \cos x) ) = t^2 + 2\sqrt{3} t$.

(2) $0 \le x \le \pi$ より、 $-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{6}$。

$-1/2 \le \sin(x-\frac{\pi}{6}) \le 1$。

よって、$t = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})$ より $-1 \le t \le 2$。

(3) $y = t^2 + 2\sqrt{3} t = (t + \sqrt{3})^2 - 3$

$-1 \le t \le 2$

$t = - \sqrt{3}$ のとき、$y = -3$。ただし、$-1 \le t \le 2$ よりこれは不適。

$t = -1$ のとき、$y = (-1 + \sqrt{3})^2 - 3 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 - 3 = 1 - 2\sqrt{3} \approx -2.46$

$t = 2$ のとき、$y = (2 + \sqrt{3})^2 - 3 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 - 3 = 4 + 4\sqrt{3} \approx 10.93$

したがって、$t = -1$ のとき最小値 $1 - 2\sqrt{3}$、 $t = 2$ のとき最大値 $4 + 4\sqrt{3}$。

$t = -1$ のとき、$2\sin(x - \frac{\pi}{6}) = -1$ より $\sin(x - \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ より $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$、$\frac{7\pi}{6}$.

$x = 0, \frac{4\pi}{3} > \pi$ なので、$x = 0$.

$t = 2$ のとき、$2\sin(x - \frac{\pi}{6}) = 2$ より $\sin(x - \frac{\pi}{6}) = 1$ より $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $y = t^2 + 2\sqrt{3} t$

(2) $-1 \le t \le 2$

(3) $x = 0$ のとき最小値 $1 - 2\sqrt{3}$、 $x = \frac{2\pi}{3}$ のとき最大値 $4 + 4\sqrt{3}$。