数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{c}{1+c}$ と漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2-a_n}$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ を満たすとき、以下の問いに答えます。ただし、$c$ は正の実数です。 (1) $a_2$ と $a_3$ を求めます。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。 (3) $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} - 1 \right)$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \frac{c}{1+c}$ と漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2-a_n}$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ を満たすとき、以下の問いに答えます。ただし、$c$ は正の実数です。

(1) $a_2$ と $a_3$ を求めます。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} - 1 \right)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = \frac{c}{1+c}$ を用いて、$a_2$ と $a_3$ を求めます。

$a_2 = \frac{1}{2-a_1} = \frac{1}{2 - \frac{c}{1+c}} = \frac{1+c}{2(1+c) - c} = \frac{1+c}{2+c}$

$a_3 = \frac{1}{2-a_2} = \frac{1}{2 - \frac{1+c}{2+c}} = \frac{2+c}{2(2+c) - (1+c)} = \frac{2+c}{4+2c - 1 - c} = \frac{2+c}{3+c}$

(2) $a_n = \frac{n+c-1}{n+c}$ と仮定します。

$a_1 = \frac{1+c-1}{1+c} = \frac{c}{1+c}$ なので、$n=1$ のとき成り立ちます。

$a_{n+1} = \frac{1}{2-a_n} = \frac{1}{2 - \frac{n+c-1}{n+c}} = \frac{n+c}{2(n+c) - (n+c-1)} = \frac{n+c}{2n+2c - n - c + 1} = \frac{n+c}{n+c+1} = \frac{(n+1)+c-1}{(n+1)+c}$

よって、数学的帰納法により、$a_n = \frac{n+c-1}{n+c}$ がすべての $n$ で成り立ちます。

(3) $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1+c-1)/(n+1+c)}{(n+c-1)/(n+c)} = \frac{(n+c)(n+c)}{(n+c+1)(n+c-1)} = \frac{(n+c)^2}{(n+c)^2 - 1}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} - 1 = \frac{(n+c)^2}{(n+c)^2 - 1} - 1 = \frac{(n+c)^2 - (n+c)^2 + 1}{(n+c)^2 - 1} = \frac{1}{(n+c)^2 - 1} = \frac{1}{(n+c-1)(n+c+1)}$

部分分数分解すると、

$\frac{1}{(n+c-1)(n+c+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n+c-1} - \frac{1}{n+c+1} \right)$

$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} - 1 \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n+c-1} - \frac{1}{n+c+1} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{c} - \frac{1}{c+2} \right) + \left( \frac{1}{1+c} - \frac{1}{c+3} \right) + \left( \frac{1}{2+c} - \frac{1}{c+4} \right) + \dots \right]$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{c+1} \right)$

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = \frac{1+c}{2+c}$, $a_3 = \frac{2+c}{3+c}$

(2) $a_n = \frac{n+c-1}{n+c}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} - 1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{c+1} \right) = \frac{2c+1}{2c(c+1)}$