$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の不等式を解く。 (1) $\sin \theta < -\frac{1}{2}$ (2) $\cos \theta \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\tan \theta \ge \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の不等式を解く。

(1) $\sin \theta < -\frac{1}{2}$

(2) $\cos \theta \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\tan \theta \ge \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta < -\frac{1}{2}$

$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{7}{6}\pi$ と $\theta = \frac{11}{6}\pi$。

単位円を考えると、$\frac{7}{6}\pi < \theta < \frac{11}{6}\pi$ が解。

(2) $\cos \theta \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{6}$ と $\theta = \frac{11}{6}\pi$。

単位円を考えると、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$ または $\frac{11}{6}\pi \le \theta < 2\pi$ が解。

(3) $\tan \theta \ge \sqrt{3}$

$\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}$。$\tan \theta$ は周期 $\pi$ を持つ。

$\tan \theta$ が定義できない $\theta = \frac{\pi}{2}$ に注意する。

$\frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{4}{3}\pi \le \theta < \frac{3}{2}\pi$ が解。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{6}\pi < \theta < \frac{11}{6}\pi$

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$ または $\frac{11}{6}\pi \le \theta < 2\pi$

(3) $\frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{\pi}{2}$ または $\frac{4}{3}\pi \le \theta < \frac{3}{2}\pi$