点P(0, -3)を通り、円 $x^2 + y^2 + 2x - 1 = 0$ に接する直線の方程式と、接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

点P(0, -3)を通り、円 $x^2 + y^2 + 2x - 1 = 0$ に接する直線の方程式と、接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 円の方程式を変形する。

$x^2 + y^2 + 2x - 1 = 0$ を変形すると、$(x+1)^2 + y^2 = 2$ となる。これは、中心が(-1, 0)で半径が$\sqrt{2}$ の円を表す。

ステップ2: 接線を $y = mx - 3$ とおく。

点P(0, -3)を通る直線のうち、傾きがmである直線の式は $y = mx - 3$ と表せる。

ステップ3: 円の中心と接線の距離が半径に等しいことを利用する。

円の中心(-1, 0)と接線 $mx - y - 3 = 0$ の距離が半径 $\sqrt{2}$ に等しいので、

$\frac{|m(-1) - 0 - 3|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$

$\frac{|-m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$

両辺を2乗して、

$(-m - 3)^2 = 2(m^2 + 1)$

$m^2 + 6m + 9 = 2m^2 + 2$

$m^2 - 6m - 7 = 0$

$(m - 7)(m + 1) = 0$

したがって、$m = 7, -1$

ステップ4: 接線の方程式を求める。

$m = 7$ のとき、$y = 7x - 3$

$m = -1$ のとき、$y = -x - 3$

ステップ5: 接点の座標を求める。

円の中心(-1, 0)を通り、$y = 7x - 3$に垂直な直線は、$y = -\frac{1}{7}(x+1)$。

$y = 7x-3$と $(x+1)^2 + y^2 = 2$の交点を求めると、計算が大変になるので、$y = -\frac{1}{7}(x+1)$と中心(-1, 0)を結ぶ直線と円との交点を考え、それを平行移動して、$y = 7x-3$との交点を求める。

まず、接線 $y = 7x - 3$ の場合:

円の中心(-1,0)を通り、接線 $y = 7x - 3$に垂直な直線は $y = -\frac{1}{7}(x+1)$ 。接点を $(x_1, y_1)$ とすると、

$y_1 = 7x_1 - 3$

$y_1 = -\frac{1}{7}(x_1 + 1)$ は、円の中心から接点に向かう直線上にある。

円の中心から接点への方向ベクトルは $(x_1 + 1, y_1 - 0) = (x_1 + 1, y_1)$ である。

このベクトルは半径$\sqrt{2}$の円周上にあるため、

$(x_1+1)^2 + y_1^2 = 2$。

$y_1 = 7x_1 - 3$を代入すると、 $(x_1+1)^2 + (7x_1 - 3)^2 = 2$

$x_1^2 + 2x_1 + 1 + 49x_1^2 - 42x_1 + 9 = 2$

$50x_1^2 - 40x_1 + 8 = 0$

$25x_1^2 - 20x_1 + 4 = 0$

$(5x_1 - 2)^2 = 0$

$x_1 = \frac{2}{5}$

$y_1 = 7(\frac{2}{5}) - 3 = \frac{14}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{1}{5}$

よって、接点の座標は$(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5})$。

次に、接線 $y = -x - 3$ の場合:

円の中心(-1,0)を通り、接線 $y = -x - 3$に垂直な直線は $y = 1(x+1) = x+1$。

接点を $(x_2, y_2)$ とすると、$y_2 = -x_2 - 3$

$y_2 = x_2 + 1$ より、 $-x_2 - 3 = x_2 + 1$

$2x_2 = -4$

$x_2 = -2$

$y_2 = -2 + 1 = -1$。

よって、接点の座標は(-2, -1)。

3. 最終的な答え

接線の方程式: $y = 7x - 3$ と $y = -x - 3$

接点の座標: $(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5})$ と $(-2, -1)$