行列 $A = \begin{bmatrix} -4 & -10 & -5 & \alpha \\ 2 & 8 & 7 & 3 \\ -1 & 3 & 7 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ の階数 (ランク) を、$\alpha$ が実数であるとして求める問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} -4 & -10 & -5 & \alpha \\ 2 & 8 & 7 & 3 \\ -1 & 3 & 7 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ の階数 (ランク) を、$\alpha$ が実数であるとして求める問題です。

2. 解き方の手順

行列 $A$ を行基本変形して階段行列に変形し、0でない行の数を数えることでランクを求めます。

まず、1行目と4行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 8 & 7 & 3 \\ -1 & 3 & 7 & 2 \\ -4 & -10 & -5 & \alpha \end{bmatrix}$

次に、2行目から1行目の2倍を引き、3行目に1行目を足し、4行目から1行目の-4倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 6 & 9 & 3 \\ 0 & 2 & 3 & \alpha + 4 \end{bmatrix}$

次に、3行目から2行目の3倍を引き、4行目から2行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha + 3 \end{bmatrix}$

$\alpha = -3$ のとき、

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

ランクは2です。

$\alpha \neq -3$ のとき、

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha + 3 \end{bmatrix}$

$\alpha + 3 \neq 0$ なので、4行目を2行目と入れ替えれば、

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha+3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

ランクは3です。

3. 最終的な答え

$\alpha = -3$ のとき、rank $A = 2$

$\alpha \neq -3$ のとき、rank $A = 3$