2次関数 $y = -x^2 + 2x$ ($0 \le x \le a$) について、最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 2x$ ($0 \le x \le a$) について、最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2x = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -(x-1)^2 + 1$

したがって、この2次関数のグラフは、頂点が $(1, 1)$ で上に凸な放物線です。

(1) 最大値について

区間 $0 \le x \le a$ における最大値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $x=1$ です。

(i) $0 < a \le 1$ のとき、区間 $[0, a]$ において、$x=a$ で最大値をとります。

最大値は $y = -a^2 + 2a$

(ii) $a > 1$ のとき、区間 $[0, a]$ において、$x=1$ で最大値をとります。

最大値は $y = 1$

(2) 最小値について

区間 $0 \le x \le a$ における最小値を考えます。

(i) $0 < a \le 2$ のとき、区間 $[0, a]$ において、$x=0$ で最小値をとります。

最小値は $y = 0$

(ii) $a > 2$ のとき、区間 $[0, a]$ において、$x=a$ で最小値をとります。

最小値は $y = -a^2 + 2a$

3. 最終的な答え

(1) 最大値:

- $0 < a \le 1$ のとき、$-a^2 + 2a$

- $a > 1$ のとき、$1$

(2) 最小値:

- $0 < a \le 2$ のとき、$0$

- $a > 2$ のとき、$-a^2 + 2a$