与えられた二次関数 $y = -x^2 + 4x$ を、与えられた範囲 $-1 \le x \le 1$ で平方完成させ、グラフを描き、最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = -x^2 + 4x$ を、与えられた範囲 $-1 \le x \le 1$ で平方完成させ、グラフを描き、最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成させます。

$y = -x^2 + 4x$

$y = -(x^2 - 4x)$

$y = -(x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x)$

$y = -\{(x - 2)^2 - 2^2\}$

$y = -\{(x - 2)^2 - 4\}$

$y = -(x - 2)^2 + 4$

したがって、頂点は $(2, 4)$ です。

次に、範囲の端点での $y$ の値を計算します。

$x = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 + 4(-1) = -1 - 4 = -5$

$x = 1$ のとき、$y = -(1)^2 + 4(1) = -1 + 4 = 3$

グラフを描くことを考えると、頂点 (2, 4) は範囲外であり、放物線は上に凸であるため、$x = 1$ で最大値を取り、$x = -1$ で最小値を取ります。

3. 最終的な答え

$y = -(x^2 - 4x)$

$y = -(x^2 - 2 \cdot 2x)$

$y = -\{(x - 2)^2 - 2^2\}$

$y = -(x - 2)^2 + 4$

よって頂点 $(2, 4)$

(左端) $x = -1$ のとき、$y = -5$

(右端) $x = 1$ のとき、$y = 3$

グラフより

$x = 1$ のとき、最大値 $3$

$x = -1$ のとき、最小値 $-5$