複素数単位 $i$ のべき乗を、$i^2 = -1$ を用いて簡略化する問題です。

1. 問題の内容

複素数単位 $i$ のべき乗を、$i^2 = -1$ を用いて簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $i^3 = i \cdot i^2 = i \cdot (-1) = -i$

(2) $i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$

(3) $i^5 = i \cdot i^2 \cdot i^2 = i \cdot (-1) \cdot (-1) = i \cdot 1 = i$

(4) $\frac{1}{i} = \frac{1 \times i}{i \times i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$

(5) $\frac{1}{i^3} = \frac{1 \times i}{i^3 \times i} = \frac{i}{(i^2)^2} = \frac{i}{(-1)^2} = \frac{i}{1} = i$

(6) $\frac{1}{i^5}$

$i^5 = i$, therefore, $\frac{1}{i^5} = \frac{1}{i} = \frac{1\times i}{i \times i}= \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1}=-i$

3. 最終的な答え

(1) $-i$

(2) $1$

(3) $i$

(4) $-i$

(5) $i$

(6) $-i$