整数 $n$ について、$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数であることを、対偶を用いて証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数であることを、対偶を用いて証明する。

2. 解き方の手順

対偶を考える。

元の命題「$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数である」の対偶は、「$n$ が3の倍数でないならば、$n^2$ は3の倍数でない」である。

この対偶が真であることを示す。

$n$ が3の倍数でないとき、$n$ は $3k+1$ または $3k+2$ （$k$ は整数）と表せる。

(i) $n = 3k+1$ のとき

$n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$

$3k^2 + 2k$ は整数なので、$n^2$ は3で割ると1余る数であり、3の倍数ではない。

(ii) $n = 3k+2$ のとき

$n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$

$3k^2 + 4k + 1$ は整数なので、$n^2$ は3で割ると1余る数であり、3の倍数ではない。

したがって、$n$ が3の倍数でないならば、$n^2$ は3の倍数ではない。

これは対偶が真であることを示している。

対偶が真なので、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

整数 $n$ について、$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ は3の倍数である。