一辺の長さが2の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとする。 (1) $\cos \angle AMD$の値を求める。 (2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求める。 (3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求め、また、点Bから平面AENに垂線を引いたときの交点をHとするとき、線分BHの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDがある。辺BCの中点をMとする。

(1) $\cos \angle AMD$の値を求める。

(2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求める。

(3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求め、また、点Bから平面AENに垂線を引いたときの交点をHとするとき、線分BHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABM$、$\triangle DCM$はそれぞれ直角三角形であり、$AM = DM = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$である。また、$AD = 2$である。したがって、$\triangle AMD$において余弦定理を用いると、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2AM \cdot DM \cos \angle AMD$

$2^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cos \angle AMD$

$4 = 3 + 3 - 6 \cos \angle AMD$

$6 \cos \angle AMD = 2$

$\cos \angle AMD = \frac{1}{3}$

(2) Eは直線BCに関してDと対称な点なので、$BE = BD = 2$、$CE = CD = 2$である。また、$\triangle BCE$は正三角形となり、BC=2である。

ここで、点MはBCの中点なので、$EM = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$である。

四角形BCEDは菱形であり、その対角線は直交する。

よって、$BC \perp DE$となり、$DE = 2\sqrt{3}$となる。

$\triangle AME$において、$AM = \sqrt{3}$, $EM = \sqrt{3}$で、$AE = x$とおくと、

$\triangle ABE$において、余弦定理より、

$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2 \times AB \times BE \cos \angle ABE$

$x^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \times 2 \times 2 \cos \angle ABE$

$x^2 = 8 - 8 \cos \angle ABE$

$\triangle ACE$において、余弦定理より、

$AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2 \times AC \times CE \cos \angle ACE$

$x^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \times 2 \times 2 \cos \angle ACE$

$x^2 = 8 - 8 \cos \angle ACE$

$\angle ABE = \angle ACE = \theta$

である。

$\triangle ABM$において、

$\cos \angle ABM = \frac{BM}{AB} = \frac{1}{2}$

よって、$\angle ABM = \frac{\pi}{3}$

$\angle MBC = \frac{\pi}{3}$

$\angle ABC = \frac{\pi}{3}$

$BM = 1, AM = \sqrt{3}$

点EはBCに関して点Dと対称なので、$BC \perp DE$となる。よって、

点EからABに垂線を下ろすと、

$EM = \sqrt{3}$なので、$\triangle ABE$の面積は、$\frac{1}{2} AB \cdot AE \sin \angle BAE$

$\triangle AED$において、$AM = DM = \sqrt{3}$で、$AE = DE = 2$であり、$\angle AMD = 2\angle AME$。

$\cos \angle AME = \frac{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2 - 2^2}{2(\sqrt{3})(\sqrt{3})} = \frac{3+3-4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$AE = \sqrt{8}$

(3) NはBDの中点なので、$AN = \frac{1}{2}AB = 1$,$AN = \sqrt{3}$

$EN = \frac{1}{2}BE = 1$

よって、$\triangle AEN$の面積をSとすると、

$AE = \sqrt{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle AMD = \frac{1}{3}$

(2) $AE = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(3)は省略