2025 の正の約数の総和を求めよ。

1. 問題の内容

2025 の正の約数の総和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2025を素因数分解します。

$2025 = 5 \times 405 = 5 \times 5 \times 81 = 5^2 \times 3^4$

次に、約数の総和を求める公式を利用します。ある数 $N$ が $N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} ... p_n^{a_n}$ と素因数分解されるとき、$N$ の約数の総和は以下の式で与えられます。

$(1 + p_1 + p_1^2 + ... + p_1^{a_1}) (1 + p_2 + p_2^2 + ... + p_2^{a_2}) ... (1 + p_n + p_n^2 + ... + p_n^{a_n})$

この公式を2025に適用すると、約数の総和は以下のようになります。

$(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4)(1 + 5 + 5^2)$

各括弧の中を計算します。

$1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121$

$1 + 5 + 25 = 31$

したがって、約数の総和は $121 \times 31$ で求められます。

$121 \times 31 = 3751$

3. 最終的な答え

3751