$221x + 7y = 1$ を満たす整数 $x, y$ の組のうち、$x$ の絶対値が最も小さいものを求めよ。

1. 問題の内容

$221x + 7y = 1$ を満たす整数 $x, y$ の組のうち、$x$ の絶対値が最も小さいものを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式 $221x + 7y = 1$ を解く。

$221$ を $7$ で割ると、 $221 = 31 \times 7 + 4$ となる。

これを元の式に代入すると、 $(31 \times 7 + 4)x + 7y = 1$ となる。

整理すると、$7(31x + y) + 4x = 1$ となる。

ここで、 $31x + y = k$ とおくと、$7k + 4x = 1$ となる。

この式を $4x = 1 - 7k$ と変形する。

$4x$ が整数なので、$1 - 7k$ も整数でなければならない。

$1 - 7k = 4x$ より、$1 - 7k$ は $4$ の倍数である必要がある。

$k = -1$ のとき、$1 - 7(-1) = 1 + 7 = 8$ となり、$8$ は $4$ の倍数である。

したがって、$4x = 8$ より、$x = 2$。

このとき、$31x + y = k$ より、$31(2) + y = -1$、$62 + y = -1$、$y = -63$。

よって、$(x, y) = (2, -63)$ は方程式の解の一つである。

一般解を求める。

$221x + 7y = 1$ の特殊解として $(2, -63)$ が得られたので、$221(2) + 7(-63) = 1$ が成り立つ。

$221x + 7y = 1$ から $221(2) + 7(-63) = 1$ を引くと、

$221(x - 2) + 7(y + 63) = 0$ となる。

$221(x - 2) = -7(y + 63)$ となる。

$221$ と $7$ は互いに素なので、$x - 2$ は $7$ の倍数である必要がある。

$x - 2 = 7n$ とおくと、$x = 7n + 2$ ( $n$ は整数)。

$221(7n) = -7(y + 63)$ より、$221n = -(y + 63)$、$y = -221n - 63$。

したがって、一般解は $(x, y) = (7n + 2, -221n - 63)$ ( $n$ は整数)。

$x$ の絶対値が最小となる $n$ を求める。

$x = 7n + 2$ より、 $|x| = |7n + 2|$。

$n = 0$ のとき、$x = 2$。

$n = -1$ のとき、$x = 7(-1) + 2 = -5$。

$|2| < |-5|$ なので、$x$ の絶対値が最小となるのは $n = 0$ のときである。

したがって、$x = 2$ のとき、$y = -221(0) - 63 = -63$。

3. 最終的な答え

$x = 2$, $y = -63$