$a = 4^{294}$、 $b = 5^{581}$ とするとき、$ab$ を 9 で割った余りを求める。

1. 問題の内容

$a = 4^{294}$、 $b = 5^{581}$ とするとき、$ab$ を 9 で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、$4^n$ を 9 で割った余りの規則性を見つける。

$4^1 = 4$ を 9 で割った余りは 4

$4^2 = 16$ を 9 で割った余りは 7

$4^3 = 64$ を 9 で割った余りは 1

$4^4 = 256$ を 9 で割った余りは 4

$4^5 = 1024$ を 9 で割った余りは 7

$4^6 = 4096$ を 9 で割った余りは 1

よって、$4^n$ を 9 で割った余りは、n が 3 で割って 1 余るとき 4、2 余るとき 7、割り切れるとき 1 となる。

$294 = 3 \times 98$ より、294 は 3 で割り切れるので、$4^{294}$ を 9 で割った余りは 1 である。

次に、$5^n$ を 9 で割った余りの規則性を見つける。

$5^1 = 5$ を 9 で割った余りは 5

$5^2 = 25$ を 9 で割った余りは 7

$5^3 = 125$ を 9 で割った余りは 8

$5^4 = 625$ を 9 で割った余りは 4

$5^5 = 3125$ を 9 で割った余りは 2

$5^6 = 15625$ を 9 で割った余りは 1

$5^7 = 78125$ を 9 で割った余りは 5

よって、$5^n$ を 9 で割った余りは、n が 6 で割って 1 余るとき 5、2 余るとき 7、3 余るとき 8、4 余るとき 4、5 余るとき 2、割り切れるとき 1 となる。

$581 = 6 \times 96 + 5$ より、581 は 6 で割って 5 余るので、$5^{581}$ を 9 で割った余りは 2 である。

したがって、$ab = 4^{294} \times 5^{581}$ を 9 で割った余りは、 $4^{294}$ を 9 で割った余りである 1 と $5^{581}$ を 9 で割った余りである 2 を掛け合わせた $1 \times 2 = 2$ を 9 で割った余り、すなわち 2 である。

3. 最終的な答え

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