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nを変数とし、nは自然数とする。命題「nは3の倍数 ならば nは9の倍数」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、その真偽を判定する。

数論命題真偽逆対偶裏倍数偶数奇数
2025/6/11
## 問題(4)の解答

1. 問題の内容

nを変数とし、nは自然数とする。命題「nは3の倍数 ならば nは9の倍数」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、その真偽を判定する。

2. 解き方の手順

与えられた命題を P⇒QP \Rightarrow Q とおく。ここで PP は「nは3の倍数」, QQ は「nは9の倍数」である。
* **逆:** Q⇒PQ \Rightarrow P であり、「nは9の倍数 ならば nは3の倍数」となる。
* **対偶:** ¬Q⇒¬P\neg Q \Rightarrow \neg P であり、「nは9の倍数でない ならば nは3の倍数でない」となる。
* **裏:** ¬P⇒¬Q\neg P \Rightarrow \neg Q であり、「nは3の倍数でない ならば nは9の倍数でない」となる。
それぞれの真偽を判定する。
* **元の命題:** 「nは3の倍数 ならば nは9の倍数」は偽である。例えば、n=6は3の倍数であるが9の倍数ではない。
* **逆:** 「nは9の倍数 ならば nは3の倍数」は真である。9の倍数は必ず3の倍数である。
* **対偶:** 「nは9の倍数でない ならば nは3の倍数でない」は真である。元の命題が偽なので、その対偶は真となる。
* **裏:** 「nは3の倍数でない ならば nは9の倍数でない」は真である。元の命題が偽なので、その裏は真となる。

3. 最終的な答え

* **逆:** nは9の倍数 ならば nは3の倍数。真。
* **対偶:** nは9の倍数でない ならば nは3の倍数でない。真。
* **裏:** nは3の倍数でない ならば nは9の倍数でない。真。
## 問題(5)の解答

1. 問題の内容

m, nを変数とし、m, nは自然数とする。命題「m+nは偶数 ならば m, nの少なくとも一方は偶数」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、その真偽を判定する。

2. 解き方の手順

与えられた命題を P⇒QP \Rightarrow Q とおく。ここで PP は「m+nは偶数」, QQ は「m, nの少なくとも一方は偶数」である。
* **逆:** Q⇒PQ \Rightarrow P であり、「m, nの少なくとも一方は偶数 ならば m+nは偶数」となる。
* **対偶:** ¬Q⇒¬P\neg Q \Rightarrow \neg P であり、「m, nの両方とも奇数 ならば m+nは奇数」となる。
* **裏:** ¬P⇒¬Q\neg P \Rightarrow \neg Q であり、「m+nは奇数 ならば m, nの両方とも奇数」となる。
それぞれの真偽を判定する。
* **元の命題:** 「m+nは偶数 ならば m, nの少なくとも一方は偶数」は真である。m, nが両方奇数ならばm+nは偶数にならない。
* **逆:** 「m, nの少なくとも一方は偶数 ならば m+nは偶数」は真である。両方偶数の時も、片方だけ偶数の時もm+nは偶数になる。
* **対偶:** 「m, nの両方とも奇数 ならば m+nは奇数」は真である。元の命題が真なので、その対偶は真となる。
* **裏:** 「m+nは奇数 ならば m, nの両方とも奇数」は真である。元の命題が真なので、その裏は真となる。

3. 最終的な答え

* **逆:** m, nの少なくとも一方は偶数 ならば m+nは偶数。真。
* **対偶:** m, nの両方とも奇数 ならば m+nは奇数。真。
* **裏:** m+nは奇数 ならば m, nの両方とも奇数。真。
## 問題(6)の解答

1. 問題の内容

m, nを変数とし、m, nは自然数とする。命題「積mnは奇数 ならば m, nはともに奇数」の逆、対偶、裏をそれぞれ述べ、その真偽を判定する。

2. 解き方の手順

与えられた命題を P⇒QP \Rightarrow Q とおく。ここで PP は「積mnは奇数」, QQ は「m, nはともに奇数」である。
* **逆:** Q⇒PQ \Rightarrow P であり、「m, nはともに奇数 ならば 積mnは奇数」となる。
* **対偶:** ¬Q⇒¬P\neg Q \Rightarrow \neg P であり、「m, nの少なくとも一方は偶数 ならば 積mnは偶数」となる。
* **裏:** ¬P⇒¬Q\neg P \Rightarrow \neg Q であり、「積mnは偶数 ならば m, nの少なくとも一方は偶数」となる。
それぞれの真偽を判定する。
* **元の命題:** 「積mnは奇数 ならば m, nはともに奇数」は真である。m,nのどちらかでも偶数だとmnは偶数になる。
* **逆:** 「m, nはともに奇数 ならば 積mnは奇数」は真である。奇数同士の積は奇数である。
* **対偶:** 「m, nの少なくとも一方は偶数 ならば 積mnは偶数」は真である。元の命題が真なので、その対偶は真となる。
* **裏:** 「積mnは偶数 ならば m, nの少なくとも一方は偶数」は真である。元の命題が真なので、その裏は真となる。

3. 最終的な答え

* **逆:** m, nはともに奇数 ならば 積mnは奇数。真。
* **対偶:** m, nの少なくとも一方は偶数 ならば 積mnは偶数。真。
* **裏:** 積mnは偶数 ならば m, nの少なくとも一方は偶数。真。

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