500!が $2025^n$ で割り切れるような自然数 $n$ の最大値を求める問題です。$2025 = 45^2 = (3^2 \cdot 5)^2 = 3^4 \cdot 5^2$ であることに注意します。

1. 問題の内容

500!が $2025^n$ で割り切れるような自然数 $n$ の最大値を求める問題です。$2025 = 45^2 = (3^2 \cdot 5)^2 = 3^4 \cdot 5^2$ であることに注意します。

2. 解き方の手順

$500!$ が $2025^n = (3^4 \cdot 5^2)^n = 3^{4n} \cdot 5^{2n}$ で割り切れるということは、$500!$ が $3^{4n}$ で割り切れて、かつ $5^{2n}$ で割り切れるということです。

まず、$500!$ に含まれる素因数3の個数を求めます。

$\lfloor \frac{500}{3} \rfloor + \lfloor \frac{500}{3^2} \rfloor + \lfloor \frac{500}{3^3} \rfloor + \lfloor \frac{500}{3^4} \rfloor + \lfloor \frac{500}{3^5} \rfloor = \lfloor \frac{500}{3} \rfloor + \lfloor \frac{500}{9} \rfloor + \lfloor \frac{500}{27} \rfloor + \lfloor \frac{500}{81} \rfloor + \lfloor \frac{500}{243} \rfloor = 166 + 55 + 18 + 6 + 2 = 247$

$500!$ は $3^{247}$ で割り切れます。したがって、$4n \le 247$ となる必要があり、$n \le \frac{247}{4} = 61.75$ より、$n \le 61$ が必要です。

次に、$500!$ に含まれる素因数5の個数を求めます。

$\lfloor \frac{500}{5} \rfloor + \lfloor \frac{500}{5^2} \rfloor + \lfloor \frac{500}{5^3} \rfloor + \lfloor \frac{500}{5^4} \rfloor = \lfloor \frac{500}{5} \rfloor + \lfloor \frac{500}{25} \rfloor + \lfloor \frac{500}{125} \rfloor + \lfloor \frac{500}{625} \rfloor = 100 + 20 + 4 + 0 = 124$

$500!$ は $5^{124}$ で割り切れます。したがって、$2n \le 124$ となる必要があり、$n \le \frac{124}{2} = 62$ となります。

$n \le 61$ かつ $n \le 62$ である必要があるので、$n \le 61$ となります。したがって、$n$ の最大値は61です。

3. 最終的な答え

61