与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。具体的には以下の4つの問題があります。 (1) $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n - 2$ (2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{a_n}{3} + 2$ (3) $a_1 = 1, a_{n+1} = -2a_n + 1$ (4) $a_1 = 1, 2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$

1. 問題の内容

与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。具体的には以下の4つの問題があります。

(1) $a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n - 2$

(2) $a_1 = 1, a_{n+1} = \frac{a_n}{3} + 2$

(3) $a_1 = 1, a_{n+1} = -2a_n + 1$

(4) $a_1 = 1, 2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $a_{n+1} = 3a_n - 2$

特性方程式 $x = 3x - 2$ を解くと、$2x = 2$ より $x = 1$。

よって、$a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$。

数列 $\{a_n - 1\}$ は初項 $a_1 - 1 = 2 - 1 = 1$, 公比 $3$ の等比数列。

$a_n - 1 = 1 \cdot 3^{n-1}$ より、$a_n = 3^{n-1} + 1$。

(2) $a_{n+1} = \frac{a_n}{3} + 2$

特性方程式 $x = \frac{x}{3} + 2$ を解くと、$\frac{2}{3}x = 2$ より $x = 3$。

よって、$a_{n+1} - 3 = \frac{1}{3}(a_n - 3)$。

数列 $\{a_n - 3\}$ は初項 $a_1 - 3 = 1 - 3 = -2$, 公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列。

$a_n - 3 = -2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$ より、$a_n = 3 - 2 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} = 3 - 2 \cdot 3^{1-n}$。

(3) $a_{n+1} = -2a_n + 1$

特性方程式 $x = -2x + 1$ を解くと、$3x = 1$ より $x = \frac{1}{3}$。

よって、$a_{n+1} - \frac{1}{3} = -2(a_n - \frac{1}{3})$。

数列 $\{a_n - \frac{1}{3}\}$ は初項 $a_1 - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, 公比 $-2$ の等比数列。

$a_n - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot (-2)^{n-1}$ より、$a_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot (-2)^{n-1}$。

(4) $2a_{n+1} - a_n + 2 = 0$

$2a_{n+1} = a_n - 2$ より、$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n - 1$。

特性方程式 $x = \frac{1}{2}x - 1$ を解くと、$\frac{1}{2}x = -1$ より $x = -2$。

よって、$a_{n+1} + 2 = \frac{1}{2}(a_n + 2)$。

数列 $\{a_n + 2\}$ は初項 $a_1 + 2 = 1 + 2 = 3$, 公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列。

$a_n + 2 = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$ より、$a_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} - 2 = 3 \cdot 2^{1-n} - 2$。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3^{n-1} + 1$

(2) $a_n = 3 - 2 \cdot 3^{1-n}$

(3) $a_n = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot (-2)^{n-1}$

(4) $a_n = 3 \cdot 2^{1-n} - 2$