硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額が何通りあるかを求める問題です。以下の3つのケースについて考えます。 (1) 10円硬貨4枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚 (2) 10円硬貨2枚、50円硬貨3枚、100円硬貨3枚 (3) 10円硬貨7枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚

1. 問題の内容

硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額が何通りあるかを求める問題です。以下の3つのケースについて考えます。

(1) 10円硬貨4枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚

(2) 10円硬貨2枚、50円硬貨3枚、100円硬貨3枚

(3) 10円硬貨7枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚

2. 解き方の手順

各ケースについて、以下の手順で解きます。

(1) 10円硬貨4枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚の場合

10円硬貨の枚数は0枚から4枚の5通り、50円硬貨の枚数は0枚か1枚の2通り、100円硬貨の枚数は0枚から3枚の4通りあります。

これらの組み合わせの総数は $5 \times 2 \times 4 = 40$ 通りです。

ただし、全て0枚の場合は0円となるため、これを除外する必要があります。

したがって、支払える金額の通り数は $40 - 1 = 39$ 通りです。

50円硬貨2枚で100円になるので、100円硬貨の1枚を50円硬貨2枚に置き換えて考えることができるか検討します。10円硬貨5枚で50円になるので、50円硬貨の1枚を10円硬貨5枚に置き換えて考えることができるか検討します。

10円硬貨4枚で最大40円、50円硬貨1枚で最大50円なので、10円硬貨だけで50円を作ることはできません。

50円硬貨1枚は10円硬貨5枚で置き換えられないため、重複する金額を考慮する必要はありません。

(2) 10円硬貨2枚、50円硬貨3枚、100円硬貨3枚の場合

10円硬貨の枚数は0枚から2枚の3通り、50円硬貨の枚数は0枚から3枚の4通り、100円硬貨の枚数は0枚から3枚の4通りあります。

これらの組み合わせの総数は $3 \times 4 \times 4 = 48$ 通りです。

ただし、全て0枚の場合は0円となるため、これを除外する必要があります。

したがって、支払える金額の通り数は $48 - 1 = 47$ 通りです。

ここで、50円硬貨2枚で100円になるので、100円硬貨の1枚を50円硬貨2枚に置き換えて考えることができるか検討します。

100円硬貨3枚は、50円硬貨6枚に置き換えることができます。すると、50円硬貨は合計で9枚になります。

10円硬貨2枚で最大20円、50円硬貨3枚で最大150円なので、10円硬貨だけで50円を作ることはできません。

50円硬貨3枚は10円硬貨15枚で置き換えられないため、重複する金額を考慮する必要はありません。

(3) 10円硬貨7枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚の場合

10円硬貨の枚数は0枚から7枚の8通り、50円硬貨の枚数は0枚か1枚の2通り、100円硬貨の枚数は0枚から3枚の4通りあります。

これらの組み合わせの総数は $8 \times 2 \times 4 = 64$ 通りです。

ただし、全て0枚の場合は0円となるため、これを除外する必要があります。

したがって、支払える金額の通り数は $64 - 1 = 63$ 通りです。

ここで、10円硬貨5枚で50円になるので、50円硬貨の1枚を10円硬貨5枚に置き換えて考えることができるか検討します。

10円硬貨7枚は、50円硬貨1枚と10円硬貨2枚に置き換えることができます。

50円硬貨の金額を10円硬貨で表現できるかを検討します。

10円硬貨5枚で50円なので、50円玉1枚を10円硬貨5枚に置き換えて考えることができます。

すると、10円硬貨は12枚、50円硬貨は0枚、100円硬貨3枚という組み合わせを考えることになります。

3. 最終的な答え

(1) 39通り

(2) 47通り

(3) 63通り