問題は、与えられた二重根号を簡略化することです。具体的には、以下の二重根号を計算します。 43a(1) $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$ 43a(2) $\sqrt{6-\sqrt{20}}$ 43a(3) $\sqrt{8+4\sqrt{3}}$ 43b(1) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$ 43b(2) $\sqrt{11+\sqrt{40}}$ 43b(3) $\sqrt{14-6\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた二重根号を簡略化することです。具体的には、以下の二重根号を計算します。

43a(1) $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$

43a(2) $\sqrt{6-\sqrt{20}}$

43a(3) $\sqrt{8+4\sqrt{3}}$

43b(1) $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$

43b(2) $\sqrt{11+\sqrt{40}}$

43b(3) $\sqrt{14-6\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

二重根号を外す公式は、$\sqrt{a\pm\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ または $\sqrt{a\pm 2\sqrt{c}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ (ただし、$a=x+y$、$c=xy$)を利用します。

43a(1)

$\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{1+2+2\sqrt{1\cdot 2}} = \sqrt{(\sqrt{1})^2+(\sqrt{2})^2+2\sqrt{1}\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{1}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{1}+\sqrt{2} = 1+\sqrt{2}$

43a(2)

$\sqrt{6-\sqrt{20}} = \sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{5+1-2\sqrt{5\cdot 1}} = \sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{1})^2-2\sqrt{5}\sqrt{1}} = \sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{1})^2} = \sqrt{5}-\sqrt{1} = \sqrt{5}-1$

43a(3)

$\sqrt{8+4\sqrt{3}} = \sqrt{8+2\sqrt{4\cdot 3}} = \sqrt{8+2\sqrt{12}} = \sqrt{6+2+2\sqrt{6\cdot 2}} = \sqrt{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{2})^2+2\sqrt{6}\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$

43b(1)

$\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{2+3-2\sqrt{2\cdot 3}} = \sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2-2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

43b(2)

$\sqrt{11+\sqrt{40}} = \sqrt{11+2\sqrt{10}} = \sqrt{10+1+2\sqrt{10\cdot 1}} = \sqrt{(\sqrt{10})^2+(\sqrt{1})^2+2\sqrt{10}\sqrt{1}} = \sqrt{(\sqrt{10}+\sqrt{1})^2} = \sqrt{10}+1$

43b(3)

$\sqrt{14-6\sqrt{5}} = \sqrt{14-2\sqrt{9\cdot 5}} = \sqrt{14-2\sqrt{45}} = \sqrt{9+5-2\sqrt{9\cdot 5}} = \sqrt{(\sqrt{9})^2+(\sqrt{5})^2-2\sqrt{9}\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{5})^2} = \sqrt{9}-\sqrt{5} = 3-\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

43a(1) $1+\sqrt{2}$

43a(2) $\sqrt{5}-1$

43a(3) $\sqrt{6}+\sqrt{2}$

43b(1) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

43b(2) $\sqrt{10}+1$

43b(3) $3-\sqrt{5}$