4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とするとき、次の条件を満たす $n$ は全部で何個あるか。 (1) $a > b > c > d$ (2) $a \geq b > c > d$

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とするとき、次の条件を満たす $n$ は全部で何個あるか。

(1) $a > b > c > d$

(2) $a \geq b > c > d$

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ はそれぞれ0から9までの整数です。$a > b > c > d$ より、$a, b, c, d$ はすべて異なる整数であり、$a$ は少なくとも3以上、$d$ は最大で6以下であることがわかります。

$a, b, c, d$ はすべて異なるので、0から9までの10個の整数から4個の整数を選び、大きい順に $a, b, c, d$ に割り当てれば条件を満たす4桁の整数 $n$ が得られます。

したがって、求める個数は、10個から4個を選ぶ組み合わせの数に等しく、

$$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$$

個となります。

(2) $a \geq b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ はそれぞれ0から9までの整数です。$a \geq b > c > d$ より、$b, c, d$ はすべて異なる整数であり、$b$ は少なくとも2以上、$d$ は最大で6以下であることがわかります。$a$ と $b$ は等しい場合があり得ます。

まず、$a = b$ の場合を考えます。このとき、$a > c > d$ であるので、0から9までの10個の整数から3個を選び、大きい順に $a=b, c, d$ に割り当てれば良いです。

したがって、この場合の個数は、

$$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$$

個となります。

次に、$a > b > c > d$ の場合は、(1)で求めたように210個です。

したがって、求める個数は、

$120 + 210 = 330$

個となります。

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 330個