5つの数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる4つを選んで4桁の整数を作るとき、作ることができる4桁の奇数の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる4つを選んで4桁の整数を作るとき、作ることができる4桁の奇数の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、4桁の整数を作るので、千の位には0以外の数字が入ります。また、奇数を作るので、一の位には1か3が入ります。

(i) 一の位が1または3の場合

一の位が1または3の場合、2通りの選択肢があります。

(i-1) 千の位が0でない場合

千の位が0でない場合を考えます。

一の位の数字を決めた後、千の位の選択肢は3通りあります（0と一の位の数字を除く）。

百の位は残りの3つの数字から1つ選ぶので3通り、十の位は残りの2つの数字から1つ選ぶので2通りです。

したがって、この場合の数は $2 \times 3 \times 3 \times 2 = 36$ 通りです。

(ii) 全体の場合の数から、千の位が0になる場合を引く

4つの数字を選ぶ場合の数は ${}_5 C_4 = 5$ 通りです。

選んだ4つの数字で4桁の整数を作る総数は、4!から千の位が0になる場合を引いたものです。

千の位に0が来る場合の数は3!なので、4! - 3! = 24 - 6 = 18通り。

5つの選び方があるので、 $5 \times 18 = 90$

一の位が1,3の場合を考える。

一の位が1,3のいずれかのとき、一の位を決める方法は2通り。

千の位は0以外の数字なので、

(a) 千の位が2,4の場合。2通り。この場合百の位は3通り、十の位は2通り。 $2 \times 2 \times 3 \times 2 = 24$

(b) 千の位が奇数(1,3)の場合。この場合は既に一の位で1,3のどちらかを使用しているので、千の位の選択肢は1通り。

千の位が1通りの場合。 百の位は3通り、十の位は2通り。 $2 \times 1 \times 3 \times 2 = 12$

これらを足して $24 + 12 = 36$

(i) 0を含まない場合

{1, 2, 3, 4} から4つ選ぶしかないので、一の位は1か3の2通り。残りの3つの数字の並べ方は3! = 6通り。なので $2 \times 6 = 12$

(ii) 0を含む場合

一の位は1か3の2通り。

千の位は0以外の数字なので3通り。残りの2つの位の数字の並べ方は2通り。

なので $2 \times 3 \times 2 \times 1 = 12$ 通り。

百の位は残り3つから1つ、十の位は残り2つから1つ選ぶので、 $2 \times 3 \times 2 = 12$

4桁の奇数は$2 \times 3 \times 3 \times 2 = 36$通り

3. 最終的な答え

36