(1) $\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ の分母を有理化して簡単にしてください。 (2) $\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{2}}{4+\sqrt{6}}$ の分母を有理化して簡単にしてください。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ の分母を有理化して簡単にしてください。

(2) $\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{2}}{4+\sqrt{6}}$ の分母を有理化して簡単にしてください。

2. 解き方の手順

(1) 分母を有理化するには、分母の共役な複素数、つまり$\sqrt{3}+1$を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{1}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$

$= \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}$

$= \frac{\sqrt{3}+1}{3-1}$

$= \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

(2) 各項の分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{6}} \cdot \frac{1-\sqrt{6}}{1-\sqrt{6}}$

$= \frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{6})}{1^2 - (\sqrt{6})^2}$

$= \frac{\sqrt{3}-\sqrt{18}}{1-6}$

$= \frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{-5}$

$= \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{5}$

$\frac{\sqrt{2}}{4+\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{4+\sqrt{6}} \cdot \frac{4-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$

$= \frac{\sqrt{2}(4-\sqrt{6})}{4^2 - (\sqrt{6})^2}$

$= \frac{4\sqrt{2}-\sqrt{12}}{16-6}$

$= \frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{10}$

$= \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{5}$

したがって、

$\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{6}} - \frac{\sqrt{2}}{4+\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{5} - \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{5}$

$= \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3} - (2\sqrt{2}-\sqrt{3})}{5}$

$= \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{5}$

$= \frac{\sqrt{2}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{5}$