(3)の問題について、数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{5}, \dots$ が与えられています。 (ア) $\frac{5}{8}$ が第何項か、(イ) この数列の第800項を求めよ、(ウ) この数列の初項から第800項までの和を求めよ、という問題です。

1. 問題の内容

(3)の問題について、数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{5}, \dots$ が与えられています。

(ア) $\frac{5}{8}$ が第何項か、(イ) この数列の第800項を求めよ、(ウ) この数列の初項から第800項までの和を求めよ、という問題です。

2. 解き方の手順

(ア) $\frac{5}{8}$ が第何項か。

数列の分母に注目すると、1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, ... となっています。分母が$n$である項の数は$n$個です。

分母が$n$である最後の項の番号は $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ です。

$\frac{5}{8}$ の分母は8なので、分母が8である項の数は8個です。$\frac{5}{8}$ は分母が8の項の中で何番目か考えます。

分母が8の項は $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}, \frac{9}{8}, \frac{11}{8}, \frac{13}{8}, \frac{15}{8}$ となります。$\frac{5}{8}$ は分母が8の項の中で3番目です。

したがって、$\frac{5}{8}$ は第 $\frac{7(7+1)}{2} + 3 = \frac{7 \cdot 8}{2} + 3 = 28 + 3 = 31$ 項です。

(イ) この数列の第800項を求めよ。

まず、第800項の分母が何かを求めます。$\frac{n(n+1)}{2} < 800$ を満たす最大の整数$n$を求めます。

$n(n+1) < 1600$ となる$n$を考えます。$n=39$のとき$39 \cdot 40 = 1560 < 1600$、$n=40$のとき$40 \cdot 41 = 1640 > 1600$なので、$n=39$です。

分母が39である最後の項の番号は $\frac{39(39+1)}{2} = \frac{39 \cdot 40}{2} = 39 \cdot 20 = 780$ です。

したがって、第800項の分母は40です。

第800項は、分母が40の項の中で $800 - 780 = 20$ 番目の項です。

分母が$n$の項は $\frac{1}{n}, \frac{3}{n}, \frac{5}{n}, \dots, \frac{2n-1}{n}$ です。

分母が40の項は $\frac{1}{40}, \frac{3}{40}, \frac{5}{40}, \dots, \frac{2(40)-1}{40} = \frac{79}{40}$ です。

分母が40の項の中で20番目の項は $\frac{2(20)-1}{40} = \frac{40-1}{40} = \frac{39}{40}$ です。

したがって、第800項は $\frac{39}{40}$ です。

(ウ) この数列の初項から第800項までの和を求めよ。

数列を分母ごとにグループ分けして考えます。分母が$n$のグループは $\frac{1}{n}, \frac{3}{n}, \frac{5}{n}, \dots, \frac{2n-1}{n}$ です。

このグループの和は $\frac{1+3+5+\dots+(2n-1)}{n} = \frac{n^2}{n} = n$ です。

第780項までの和は $\sum_{k=1}^{39} k = \frac{39(39+1)}{2} = \frac{39 \cdot 40}{2} = 39 \cdot 20 = 780$ です。

第781項から第800項までの和は $\frac{1}{40} + \frac{3}{40} + \frac{5}{40} + \dots + \frac{39}{40} = \frac{1+3+5+\dots+39}{40}$ です。

$1+3+5+\dots+39$ は初項1、末項39、項数20の等差数列の和なので、$\frac{20(1+39)}{2} = 10 \cdot 40 = 400$ です。

したがって、第781項から第800項までの和は $\frac{400}{40} = 10$ です。

初項から第800項までの和は $780 + 10 = 790$ です。

3. 最終的な答え

(ア) 31項

(イ) $\frac{39}{40}$

(ウ) 790